Potenssi

Potenssi on matemaattinen lyhennysmerkintä, jolla esitetään saman luvun toistuva kertolasku. Esimerkiksi kolmen 2:n tulo $2 \cdot 2 \cdot 2$ lyhennetään $2^3$. Toistuvaa lukua kutsutaan kantaluvuksi ja toiston lukumäärää eksponentiksi, jolloin merkinnässä $2^3$ luku 2 on kantaluku ja luku 3 on eksponentti. Tällöin sanotaan, että luku 2 korotetaan potenssiin 3. Arkipäiväisemmin sanotaan myös "kaksi potenssiin kolme", "kaksi kolmanteen potenssiin" tai lyhyemmin "kaksi kolmanteen".

Yleisesti voidaan merkitä kantaluvun $a$ korottamista potenssiin $n$: $a \cdot a \cdot...\cdot a = a^n$. Merkintää voidaan lukea myös "a potenssiin n", "a n:nteen potenssiin" tai "a:n n:s potenssi".

Käsitteitä ja merkintätapoja

Luvun $a$ toista potenssia eli $a^2$ kutsutaan usein luvun $a$ neliöksi ja vastaava kolmatta potenssia $a$ kuutioksi. Siten merkintä $4^2$ voidaan lausua "luvun neljä neliö" eli "neljän neliö" ja $4^3$ "luvun neljä kuutio" eli "neljän kuutio".

Erityisesti laskimissa käytetään luvun kymmenen potensseille erityistä merkintäänsä. Esimerkiksi $10^2$ merkitään 1E+2. Luku 1 on siis kerroin, kirjain E ilmoittaa, että on kyse kymmenen potensseista, ja +2 tarkoittaa kymmenenen positiivista eksponenttia kaksi. Vastaavasti merkittäisiin esimerkiksi $2,3 \cdot 10^6$ muodossa 2,3E+6.

Potenssin laskemisesta

Ominaisuudet

Potenssi ei ole vaihdannainen kuten yhteen- tai kertolasku. Esimerkiksi, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 ja 2 · 3 = 3 · 2 = 6, mutta 2³ = 8, kun taas 3² = 9.

Potenssi ei ole myöskään liitännäinen. Esimerkiksi (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 ja (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, mutta $(2^3)^4$ = $8^4$ = 4 096, kun taas $2^{(3^4)}$ = $2^{81}$ = 2 417 851 639 229 258 349 412 352.

Jos sulkeita ei ole merkitty, lasketaan potenssit alkaen ylimmästä eksponentista:

$b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{(p \cdot q)} = b^{p \cdot q}$
(Kirjoitettuna kaavana: b^p^q = b^(p^q) ≠ (b^p)^q.)

Eksponenttina positiivinen kokonaisluku

Edellä esitetty potenssin havainnollinen tulkinta voidaan kirjoittaa muodollisesti seuraavasti. Olkoon $a$ reaaliluku ja $n$ positiivinen kokonaisluku. Tällöin määritellään $a^1 = a$ ja $a^n = a \cdot a^{n-1}$, kun $n \geq 2$.

Tulon tekijöiden lukumääriä tarkastelemalla voidaan todistaa seuraavat laskusäännöt päteviksi, kun $a$ ja $b$ ovat reaalilukuja sekä $m$ ja $n$ positiivisia kokonaislukuja:

1. $a^m a^n = a^{m+n}\,\!$
2. $\tfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0, m > n)\,\!$
3. $(a^m)^n = a^{mn}\,\!$
4. $a^n b^n = (ab)^n\,\!$
5. $(\tfrac{a}{b})^n = \tfrac{a^n}{b^n} \qquad (b \neq 0)\,\!$

Eksponenttina nolla

Potenssin tulkinta kertolaskun kautta ei kerro, mitä luvun nollas potenssi olisi: eihän ole olemassa tuloa, jossa on 0 tulon tekijää. Mikäli halutaan, että luku voidaan korottaa myös nollanteen potenssiin, täytyy sopia, mitä nollannella potenssilla tarkoitetaan.

Periaatteessa tämä sopimus voitaisiin tehdä täysin mielivaltaisesti, mutta useimmissa tapauksissa edellä esitetyt potenssin laskusäännöt eivät pätisi nollansilla potensseilla. Kun sovelletaan toista laskusääntöä potenssiin $a^0$, jossa $a$ on nollasta eroava reaaliluku, saadaan

$a^0 = a^{1-1} = \tfrac{a^1}{a^1} = \tfrac{a}{a} = 1$.

Siis luvun nollannen potenssin on oltava aina 1, mikäli halutaan laskusäännön $\tfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ pätevän myös tapauksessa $m = n$. Siksi määritellään

$a^0 = 1$

kaikilla nollasta eroavilla reaaliluvuilla $a$. Näin määritellen myös muut potenssin laskusäännöt ovat voimassa nollansille potensseille.

Luvun nolla nollannelle potenssille laskusäännöt eivät kuitenkaan anna vastaavia rajoitteita. Siksi $0^0$ onkin epämääräinen muoto eli se jätetään yleisesti määrittelemättä. Joissain erikoistapauksissa kuten binomikaavan ja potenssisarjojen yhteydessä määritellään kuitenkin toisinaan $0^0 = 1$.

Negatiivinen eksponentti

Samoin kuin nollas potenssi määritellään myös negatiiviset kokonaislukupotenssit pyrkimällä säilyttämään potenssin laskusäännöt. Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku ja $a$ nollasta eroava. Jotta sääntö $\tfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ pätisi myös, kun $m < n$, tulee olla

$a^{-n} = a^{0-n} = \tfrac{a^0}{a^n} = \tfrac{1}{a^n}.$

Toisin sanoen määritellään luvun $a$ $n$:s negatiivinen kokonaislukupotenssi luvun $a^n$ käänteisluvuksi. Näin määritellen ovat muutkin potenssin laskusäännöt voimassa negatiivisen kokonaislukueksponentin tapauksessa.

Eksponenttina rationaalinen luku

Seuraavaksi yleistetään potenssin käsite kaikille rationaalisille eksponenteille, jotta voidaan puhua esimerkiksi potensseista $2^{\frac{1}{3}}$ ja $3^{-\frac{5}{3}}$. Vaaditaan yhä, että edellä esitellyt potenssin laskusäännöt säilyvät voimassa.

Olkoon $n$ positiivinen kokonaisluku ja $a$ epänegatiivinen. Laskusäännön $(a^m)^n = a^{mn}$ nojalla on määriteltävä siten, että

$(a^{\frac{1}{n}})^n = a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a.$

Siis $a^{\frac{1}{n}}$ on se luku, jonka $n$:s potenssi on $a$ itse. Tällaista lukua kutsutaan luvun $a$ $n$:nneksi juureksi. Määritellään sen tähden

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}.$

Olkoon sitten $m$ mikä tahansa kokonaisluku. Vaatimalla, että potenssin potenssia koskeva laskusääntö pätee myös potenssille $a^{\frac{m}{n}}$, saadaan

$a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}.$

Tämän mukaisesti määritellään siis $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ kaikilla $a > 0, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}_+$. Myös kaikki muut potenssin laskusäännöt ovat voimassa tällaisella rationaalisen eksponentin määrittelyllä.

Miksi kantaluvun on oltava positiivinen?

Rationaalisen eksponentin tapauksessa on esitetty rajoitus $a > 0$. Siis esimerkiksi $(-1)^{1/3}$ ja $0^{-1/2}$ eivät ole määriteltyjä lausekkeita. Jos kantaluvulle $a$ sallittaisiin negatiivisia arvoja, jouduttaisiin seuraavanlaiseen ristiriitaan:

$-1 = \sqrt[3]{-1} = (-1)^{\frac{1}{3}} = (-1)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-1)^2} = \sqrt[6]{1} = 1.$

Koska $-1 \neq 1$, on joko kiellettävä murtolukueksponenttien laventaminen (ja myös supistaminen) tai sitten rajoituttava vain ei-negatiivisiin kantalukuihin. Jälkimmäinen valinta on luonnollisempi.

Myöskään nolla ei ole sovelias arvo rationaalipotenssin kantaluvulle. Jos nimittäin eksponentti on negatiivinen, päädytään jakamaan nollalla.

Eksponenttina irrationaalinen luku

Potenssiinkorotus on edellä määritelty siten, että eksponentti voi olla mikä rationaaliluku hyvänsä. Voidaan osoittaa, että mitä tahansa irrationaalilukua voidaan arvioida mielivaltaisen tarkasti rationaaliluvuilla. Siksi jokaista irrationaalilukua $r$ kohden on olemassa rationaalilukujen jono $q_1, q_2, q_3, \dots$ siten, että jono suppenee kohti lukua $r$. Tällöin myös jono $a^{q_1}, a^{q_2}, a^{q_3}, \dots$ suppenee riippumatta positiivisesta reaaliluvusta $a$. Irrationaalinen potenssi voidaan täten määritellä raja-arvona

$a^r = \lim_{i \rightarrow \infty} a^{q_i}.$

Voidaan osoittaa, että potenssin laskusäännöt ovat voimassa myös irrationaalisen eksponentin tapauksessa. Näin on potenssiinkorotus määritelty kaikilla eksponentin reaalisilla arvoilla. Irrationaalinen eksponentti voidaan määritellä myös infimumin ja supremumin avulla seuraavasti. Olkoon $r$ irrationaaliluku. Kun $a > 1$, määritellään

$a^r = \inf \{ a^q \, | \, q \in \mathbb{Q} \ \textrm{ja} \ q > r \}.$

Kun $0 < a < 1\,\!$, määritellään

$a^r = \sup \{ a^q \, | \, q \in \mathbb{Q} \ \textrm{ja} \ q > r \}.$

Potenssiin perustuvia funktioita

Potenssifunktiossa potenssimerkinnän kantaluku on muuttuja ja eksponentti vakio. Potenssifunktiot ovat yksinkertaisia funktioita, joilla on kuitenkin lukuisia sovelluksia mallinnuksessa. Eksponenttifunktiossa potenssimerkinnän eksponentti on muuttuja ja kantaluku vakio. Myös eksponenttifunktiolla on monia sovelluksia, minkä takia näitä funktioita voidaan pitää tärkeimpinä yleisfunktioina matematiikassa.

Katso myös

• Kahden potenssit
• Imaginaariyksikkö
• Tieteellinen merkintätapa