Supremum

Wikipedia

Järjestetyn joukon T osajoukon S supremum eli pienin yläraja on joukon T alkio, joka on pienin kaikista osajoukon S kaikkia alkioita suuremmista tai yhtä suurista alkioista. Joukon supremum ei siis välttämättä sisälly joukkoon S. Jos joukko sisältää suurimman alkion eli maksimin, on se myös joukon supremum. Supremum on yksikäsitteinen, jos se on olemassa.

Reaalilukujen joukossa kaikilla ylhäältä rajoitetuilla joukoilla on supremum. Ylhäältä rajoittamattomille osajoukoille supremum määritellään joskus äärettömyydeksi, koska sitä ei muuten ole olemassa. Tällöin saatetaan sanoa, että kaikille reaalilukujoukoille on yksikäsitteinen supremum.

Jos $A$ on järjestetty joukko, niin sen supremumia merkitään symbolilla

$\sup_{a \in A} a$ , $\sup \{ a \, | \, a \in A \}$ tai $\sup A$ .

Kasvavan lukujonon $A = (a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ , jolle siis $a i + 1 > a i$ , supremumia voi merkitä symbolilla

$\sup_{n \rightarrow \infty} a_n$ .

[muokkaa] Esimerkkejä

$\sup \{ 1, 2, 3 \} = 3\,$
$\sup \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \} = \sqrt{2}\,$
$\sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \} = \sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \} = 1\,$