Fermat’n pieni lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Fermat'n pienen lauseen mukaan kaikilla alkuluvuilla p ja kaikilla kokonaisluvuilla a on voimassa

a^p \equiv a \pmod{p}

eli ap on kongruentti a:n kanssa modulo p.

Toisinaan lause esitetään seuraavassa muodossa: jos p on alkuluku ja a on kokonaisluku joka ei ole p:n monikerta, niin tällöin

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p},

toisin sanoen ap-1 - 1 on jaollinen p:llä.

Tätä teoreemaa kutsutaan Fermat'n pieneksi lauseeksi erotuksena Fermat'n suuresta lauseesta. Fermat'n pieni lause on perustana Fermat'n alkulukutestille.

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pierre de Fermat keksi lauseensa vuonna 1636. Se esiintyi eräässä hänen kirjeessään, joka on päivätty 18.10.1640, uskotulleen Freniclelle seuraavasti: p jakaa ap−1 − 1 aina kun p on alkuluku ja a ja p ovat keskenään jaottomia kokonaislukuja.

Kiinalaiset matemaatikot keksivät hypoteesin (toisinaan kutsuttu nimellä kiinalainen hypoteesi,) jonka mukaan p on alkuluku jos ja vain jos

2^p = 2 \pmod{p}.

eli 2p - 2 on jaollinen p:llä.

On totta, että jos p on alkuluku, on voimassa 2^p = 2 \pmod{p} (erikoistapaus Fermat'n pienestä lauseesta). Kääntäen tämä ei kuitenkaan päde, esimerkkinä tapaus p=341, joka ei ole alkuluku.

On laajasti uskottu, että kiinalainen hypoteesi keksittiin noin 2000 vuotta ennen Fermat'n keksintöä. On huomattavaa, että vaikka hypoteesi on osittain väärä, tunsivat jo antiikin matemaatikot väitteen.