Fermat'n suuri lause

Wikipedia

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä tai viitteitä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia lähteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa.

Fermat'n suuri lause tai joskus Fermat'n viimeinen teoreema on Pierre de Fermat'n keksimä yleistys Pythagoraan lauseesta a² + b² = c²:

[muokkaa] Historiaa

Fermat kirjoitti kuuluisan lauseensa arviolta vuonna 1637 Diofantoksen Arithmetica-teoksen marginaaliin. Väittämän alapuolelle hän kirjoitti latinaksi: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet" (Olen keksinyt väittämälle ihmeellisen todistuksen, mutta marginaalissa ei riitä sille tilaa). Lause löytyi Fermat'n kuoltua vuonna 1665.

Mahdollisesti Fermat tarkasteli potenssitaulukoita ns. nexus-lukujen eli perättäisten kokonaislukujen saman potenssin erotusten summana. Kun kokonaislukujen potenssit kirjoitetaan nexus-lukujen summana muotoon 1 + (2ⁿ − 1ⁿ) + (3ⁿ − 2ⁿ) + ... + [Xⁿ − (X − 1)ⁿ], on helppo huomata että vain neliötaulukossa (n=2) nexus-lukujen ja niiden perättäissummien joukossa on neliöitä. Kuutiotaulukon (n=3) nexus-lukujen tai niiden perättäissummien joukossa ei koskaan ole kuutioita. Samoin kaikkien korkeampien potenssien taulukoissa nexus-lukujen ja nexus-summien joukossa ei koskaan esiinny kokonaislukujen vastaavia potensseja. Kahden kokonaisluvun saman potenssin erotus (eli etäisyys kyseisessä potenssitaulukossa) on aina nexus-luku tai perättäisten nexus-lukujen summa, joka ei voi olla minkään kokonaisluvun vastaava potenssi, jos n on kahta suurempi kokonaisluku. Tällainen havainto on "suuren lauseen" kanssa yhdenmukainen ja mahdollinen selitys sille, että "demonstraatio" ei mahtunut marginaaliin.

Lauseen tekee merkittäväksi se, että se oli viimeinen todeksi osoitettu Fermat'n luoma teoreema. Suurimmassa osassa lauseistaan Fermat oli kirjoittanut marginaaliin viitteitä oman todistuksensa kulkuun. Näiden viitteiden avulla myöhempi todistaminen helpottui huomattavasti, mutta Fermat'n suuren lauseen kanssa oli aloitettava alusta.

Fermat'n suurta lausetta oli yritetty todistaa moneen kertaan aikaisemminkin. Useaan kertaan tunnetutkin matemaatikot ovat väittäneet pystyvänsä sen todistamaan, mutta aina todistuksessa on ollut virhe. Vain muutama vuosi ennen lauseen lopullista todistusta väitti japanilainen matemaatikko Yoichi Miyaoka todistaneensa lauseen, mutta todistuksesta löytyi lopulta virhe. Osia Fermat'n suuresta lauseesta oli kuitenkin pystytty todistamaan. Esimerkiksi Euler oli todistanut Fermat'n suuren lauseen kun potenssi n on 3 tai 4.

Myöhemmin Fermat'n suuren lauseen ratkaisemisesta luvattiin palkkio, jota useat matemaatikot ja sitäkin useammat maallikot tavoittelivat. Ajatus siitä, että Fermat oli itse väittänyt 1600-luvun osaamisellaan pystyvänsä lauseen todistamaan, antoi myös maallikolle rohkaisun. Tuon ajan matemaattisen tiedon omaksuminen ei ole mahdoton tehtävä.

Hiljalleen esiin nousi myös ajatus, että Fermat'n suuri lause olisi Kurt Gödelin määrittelemä todistettavaksi mahdoton lause. Paradoksaalista kyllä, jos lause olisi osoittautunut mahdottomaksi todistaa, se olisi samalla osoitettu oikeaksi. Koska, jos lauseen totuusarvoon ei voida ottaa kantaa, ei ole olemassa lukuja, joilla lause ei olisi pitänyt paikkaansa, joten lause olisi väistämättä tosi.

[muokkaa] Todistus

Englantilainen Andrew Wiles todisti lopullisesti Fermat'n suuren lauseen todeksi vuonna 1995 työskenneltyään todistuksen parissa seitsemän vuotta. Fermat itse väitti keksineensä lauseelle "ihmeellisen todistuksen", mutta todennäköisesti hänen todistuksensa oli virheellinen. Wiles käytti todistuksessaan modernia matematiikkaa – erityisesti algebrallisessa geometriassa esiintyviä moduulimuotoja ja elliptisiä käyriä – mikä oli 1600-luvun matemaatikkojen tavoittamattomissa.

Wilesin todistus teoreemalle perustui monilta osin muiden matemaatikkojen pohjustukseen. Todistuksen kulku on pääpiirteissään seuraava: Taniyaman–Shimuran otaksuma väittää, että kaikille elliptisille käyrille on olemassa vastaava modulaarinen muoto. Gerhard Frey todisti, että Fermat'n suuren lauseen totuusarvo oli kytköksissä Taniyaman–Shimuran otaksuman todenpitävyyteen. Hän todisti, että jos Fermat'n suuri lause on virheellinen, eli on olemassa luonnolliset luvut a,b,c ja alkuluku p > 2 siten, että

a^p + b^p = c^p,

niin elliptinen yhtälö (jossa on käytetty ratkaisun arvoja a,b,c)

y² = x(x − a^p)(x + b^p),

ei toteuta Taniyaman–Shimuran otaksumaa. Tämä otaksuma tarjosi syvällisen yhteyden elliptisten käyrien ja modulaaristen muotojen välille.

Jos Fermat'n suuri lause olisi virheellinen, olisi myös olemassa elliptinen käyrä, joka kumoaisi todeksi oletetun Taniyaman-Shimuran otaksuman. Wiles todisti Taniyaman–Shimuran otaksuman puolivakaille elliptisille käyrille – Freyn Fermat'n suuresta lauseesta muodostama lauseke oli tällainen – ja samalla todisti Fermat'n suuren lauseen. Loppuvaiheessa myös Nick Katz ja Richard Taylor auttoivat Wilesiä viimeistelemään todistuksen.

Tähän todistukseen käytettiin monia vasta 1900-luvulla kehitettyjä matematiikan menetelmiä, mutta Fermat väitti todistaneensa lauseen jo 1600-luvulla. Useimmat matemaatikot ja tiedehistorioitsijat eivät kuitenkaan usko, että Fermat'lla olisi ollut pitävää todistusta lauseelle kaikilla eksponenteilla n.

Todistuksen tarina on lähes yhtä erikoinen kuin itse lause. Wiles työskenteli seitsemän vuotta yksinomaan itse vihjaamatta edistyksestään kenellekään. Vasta loppuvaiheessa Katz Princetonin yliopistosta auttoi Wilesiä. Kun hän julkisti todistuksensa pitämällä kolme luentoa Cambridgen yliopistossa 21.–23. kesäkuuta 1993, hän hämmästytti yleisöä lukuisilla uusilla ideoilla ja konstruktioilla. Luennon jälkeen matemaatikot tutkivat todistusta tarkemmin ja löysivätkin päättelyssä olleen aukon. Wiles ja Taylor miettivät noin vuoden yrittäessään korjata todistusta. Syyskuussa 1994 he saivat lopulta aukon paikatuksi käyttämällä hyväkseen niin sanottua Iwasawan teoriaa.

[muokkaa] Kirjallisuutta

• Amir D. Aczel: Fermat'n teoreema ISBN 951-0-22202-X
• Singh, Simon: Fermat’n viimeinen teoreema: Kertomus ongelmasta, joka piinasi maailman parhaita matemaatikoita 358 vuoden ajan. (Fermat’s enigma: The epic quest to solve the world's greatest mathematical problem, 1998.) Esipuhe: John Lynch. Helsinki: Tammi, 1998. ISBN 951-31-1118-0.
• Wiles, Andrew (1995). Modular elliptic curves and Fermat's last theorem, Annals of Mathematics (141) (3), 443-551.

[muokkaa] Katso myös

• Fermat'n pieni lause