Modulimuoto

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Modulimuodot ovat funktioryhmiä, jotka on määritelty kompleksitason ylemmässä puoliskossa. Ne keksittiin vasta 1800-luvulla ja ovat oma abstrakti matematiikan alueensa. Modulimuodot ovat monin tavoin symmetrisiä; symmetria tulee esiin tyypillisellä muunnoksella f(z) \Rightarrow f((az+b)/(cz+d)).

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Dedekindin eetafunktio määritellään

\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n),\ q = e^{2\pi i z}.

Silloin modulaarinen diskriminantti Δ(z) = η(z)24 on modulimuoto.

Automorfiset muodot ja muita yleistyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Modulimuodot voidaan yleistää sallimalla funktio \varepsilon(a,b,c,d) niin että \left|\varepsilon(a,b,c,d)\right|=1 ja

f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k f(z).

Funktiot muotoa \varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k tunnetaan automorfisina kertoimina.

Toinen yleistys on Hilbert-modulimuodot.

Formaali määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kirjassa[1] on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon N positiivinen kokonaisluku. Tällöin algebrallinen käyrä X_0(N) on tasoa N oleva modulikäyrä. Säännöllinen differentiaalimuoto modulikäyrällä X_0(N) on tasoa N oleva \mathbb Q-kertoiminen modulimuoto.

Kirjassa[2] on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon k kokonaisluku. Meromorfinen funktio f:\mathcal H\to\mathbb C on heikosti modulaarinen painolla k jos f(\gamma(\tau))=(c\tau+t)^kf(\tau) kun \gamma=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb Z) ja \tau\in\mathcal H.

Funktio f:\mathcal H\to\mathbb C on modulimuoto painolla k, jos f on holomorfinen sekä \mathcal H:ssa että \infty:ssä ja f on heikosti modulaarinen painolla k

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.
  1. Takeshi Saito: Fermat's Last Theorem Basic Tools
  2. Fred Diamond, Jerry Shurman: A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics 228, Springer