Kongruenssi (lukuteoria)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli esittelee kongruenssin käsitettä lukuteoriassa, kielitieteellisestä käsitteestä katso kongruenssi (kielitiede).

Kongruenssirelaatio merkitsee sitä, että kahdesta luvusta jää sama jakojäännös, kun ne jaetaan samalla kolmannella luvulla. Kongruenssille käytetään yleisesti merkintää a \equiv r  \ \mbox{(mod b)} \ , joka luetaan: a on kongruentti r:n kanssa modulo b.

Kahden kokonaisluvun kongruenssi voidaan määritellä jakoyhtälön

a, \ b \in \mathbb{Z} \
a \equiv r \ \mbox{(mod b)} \ , jos a = kb + r jollakin kokonaisluvulla k, toisin sanoen b|(a-r), toisin sanoen erotus a-r on jaollinen b:llä.

Kongruenssi voidaan myös yleistää kahdelle mielivaltaiselle reaaliluvulle seuraavasti: jos x,y\in\mathbb{R},y\not =0, on x\mbox{(mod y)}=x-y\lfloor x/y\rfloor+ny jollakin n\in\mathbb{Z} ja x\mbox{(mod 0)}=x

Kongruensseja voidaan käyttää jaksollisten funktioiden merkitsemiseen. Esimerkiksi koska \tan x=\tan (x+\pi), voidaan kirjoittaa \tan x=\tan x \mbox{(mod } \pi) .

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • 7 \equiv 3 \ \mbox{(mod 4)} \ , koska 7 = 1 * 4 + 3, ts. 7-3 on jaollinen 4:llä.
  • 82 \equiv 1 \ \mbox{(mod 9)} \ , koska 82-1 (81 = 9*9) on jaollinen 9:llä.
  • 27 \equiv 0 \ \mbox{(mod 3)} \ , koska 27 on jaollinen 3:lla.
  • -3 \equiv 3 \ \mbox{(mod 6)} \ , koska -3-3 (=-6) on jaollinen 6:lla.

Kongruenssirelaatio on ekvivalenssirelaatio, joten se jakaa kokonaislukujen joukon ekvivalenssiluokkiin.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]