Irrationaaliluku

Wikipedia

Irrationaaliluku on matematiikassa reaaliluku, jota ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena, rationaalilukuna (, jossa m ja n ovat kokonaislukuja).

Irrationaalilukuja ovat muun muassa ympyrän kehän ja halkaisijan suhde pii, Neperin luku, kultaisen leikkauksen suhde, useimpien kokonaislukujen murtopotenssit (esimerkiksi ), useat logaritmit (esimerkiksi ) ja trigonometriset funktiot (esimerkiksi sin 15°).

Irrationaaliluvun pääominaisuus on se, ettei sitä voida esittää päättyvänä tai jaksollisena desimaalilukuna. Irrationaalilukua käsitellään usein kyseistä tarkoitusta varten kehitetyllä symbolilla. Esimerkiksi piitä merkitään π:llä ja Neperin lukua e:llä.

Todistus, ettei luku 2^1/2 ole rationaaliluku:

Antiteesi: luku 2^1/2 on rationaaliluku, jolloin 2^1/2 voidaan esittää muodossa n/m, jossa n ja m ovat kokonaislukuja, joista voidaan olettaa, ettei kumpikin niistä ole parillinen. Nyt n²/m² = 2 => n² = 2*m². Tästä seuraa, että n on oltava parillinen ja m pariton. Tällöin n voidaan esittää muodossa 2*k , jossa k on kokonaisluku. Nyt 4*k² = 2*m² => 2*k² = m² , mikä on ristiriita, koska m oli pariton. Antiteesi ei pidä paikkansa, joten 2^1/2 ei ole rationaaliluku.

[muokkaa] Historia

Ensimmäisen kerran länsimaisessa historiassa joutui irrationaalilukujen kanssa vastatusten Pythagoras ja hänen oppilaansa pythagoralaiset, joiden fanaattinen suhtautuminen matematiikkaan muistutti uskontoa. Pythagoralaiset uskoivat kaikkien matemaattisten asioiden olevan käsiteltävissä pelkästään rationaalilukujen kautta, kunnes alkoivat miettiä sen neliön lävistäjän pituutta, jonka sivun pituus on yksi. He käyttivät Pythagoraan lausetta mutta huomasivat, ettei mikään rationaaliluku toteuta yhtälöä x² = 2. Aiemmin saatiin rationaaliluvuilla koko lukusuora "katetuksi", sillä jokaisen kahden murtoluvun välissä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Kesti yli kaksituhatta vuotta ennen kuin saksalainen matemaatikko Richard Dedekind vuonna 1872 onnistui liittämään rationaali- ja irrationaaliluvut hyväksyttävin perustein yhdeksi suureksi lukujoukoksi, reaaliluvuiksi.

Vaikka rationaalilukuja on ääretön määrä, on irrationaalilukuja tavallaan vieläkin enemmän, minkä todisti Georg Cantor muutamaa vuotta Dedekindin jälkeen. Hän osoitti, ettei irrationaalilukujen joukkoa voida järjestää loputtomaksi jonoksi, toisin kuin kokonaislukujen ja rationaalilukujen joukot. Tätä kutsutaan ylinumeroituvuudeksi.