Imaginaariyksikkö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa imaginaariyksikkö mahdollistaa reaalilukujen laajentamisen kompleksilukujen joukkoon. Sen täsmällinen määritelmä riippuu tavasta, jolla laajennus tehdään. Imaginaariyksikköä merkitään \scriptstyle i = \sqrt{-1}, missä siis \scriptstyle i^2=-1.[1] Toisinaan imaginaariyksiköstä käytetään merkintää j ja ι.

Perussyy tähän laajennukseen on, että kaikilla polynomiyhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Erityisesti yhtälö \scriptstyle x^2+1=0 on tällainen. Ajattelemalla, että kyseisellä yhtälöllä olisikin ratkaisuna imaginaariyksikkö i ja määrittelemällä i:n laskutoimitukset sopivasti, saadaankin jokaiselle reaalikertoimiselle polynomiyhtälölle f(x)=0 ratkaisu. (Katso algebrallinen sulkeuma ja algebran peruslause).

Imaginaariyksikkö on myös osa Eulerin lausetta funktioteoriassa.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritelmän mukaan i on eräs toisen asteen yhtälön

x^2 + 1 = 0 \

ratkaisuista, jotka ovat

x = \pm \sqrt{-1} = i~\lor~-i.

Reaalilukujen laskusäännöt voidaan laajentaa imaginaarisille ja kompleksisille luvuille ajattelemalla lukua i muuttujana, kertomalla lukuja kuten polynomeja ja ottamalla huomioon, että i2=−1. Korkeammista eksponenteista imaginaariyksikön eksponentti voidaan palauttaa välille 0,...,3 kaavan in=-in-2 avulla.

Imaginaariyksikön käänteisluku on sama kuin sen vastaluku, koska

\frac{1}{i} \;=\; \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \;=\; \frac{i}{i^2} \;=\; \frac{i}{-1} \;=\; -i.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Ron Larson, Robert Hostetler & Bruce Edwards: College Algebra: A Graphing Approach, s. 187. Cengage Learning, 2007. ISBN 9780618851881. (englanniksi)