Potenssifunktio

Potenssifunktio on muuttujan $x \!$ matemaattinen funktio, joka voidaan esittää yleistettynä

$f\colon x \mapsto a x^r\qquad a,r \in \mathbb{R}$

missä $x^r\qquad$ on potenssi ja $r \!$ sen eksponentti. Eksponentin arvoa kutsutaan myös potenssin asteeksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä

$f(x)=a x^r \qquad a,r \in \mathbb{R}$

Potenssifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli $x \ge 0$ sievennysongelmien välttämiseksi. Määrittelyjoukko määritetään siten aina tapauskohtaisesti.

Potenssifunktion arvon määrittäminen

Eksponentti on luonnollinen luku

Erään potenssifunktion määritelmän mukaan se on tulo äärellisestä lukumäärästä ($m + n$ kpl) vakioita $a_1, a_2,..., a_m \!$ ja muuttujaa $x \!$:

$a_1 a_2 ... a_m x x x ... x=axxx...x=ax^n \!$

Tämän määritelmän mukaan potenssifunktio, jonka eksponenttina on luonnollinen luku, kuuluu alkeisfunktioihin, sillä se on muodostettu äärellisestä määrästä muuttujia ja vakioita niiden välisillä kertolaskuilla (alkeisoperaatio), ja se on samalla yleisen potenssifunktion erikoistapaus, joka merkitään usein

$f(x)=a x^n \qquad a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N} \!$

Tällainen potenssifunktio on samalla myös polynomifunktio, jossa on yksi termi. Useiden eriasteisten potenssien summa muodostaa monitermisen polynomifunktion. Eriasteisten potenssien sarjoja käytetään monissa potenssisarjoissa.

Erikoistapauksia

Potenssifunktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. Niillä on polynomifunktioiden oheella merkittävä rooli matematiikan kouluopetuksessa eri maissa.

• Kun n = 0, saadaan $f(x)=a$, koska $f(x)=a x^0=a$. Tätä kutsutaan vakiofunktioksi ja se saa kaikilla x:n arvoilla saman arvon a. Vakiofunktion erikoistapaus on nollafunktio, jonka arvoksi tulee aina nolla (ei mitään).

• Kun n = 1, saadaan $f(x)=ax$, koska $f(x)=a x^1=ax$. Tämä on lineaarisen polynomifunktion $f(x)=ax + b$ erikoistapaus, kun $b=0$. Silloin funktion arvo $f(x)$ ja muuttuja $x$ ovat suoraan verrannolliset eli $f(x) \sim x$. Jos funktion kerroin $a = 1$, saadaan $f(x)=xa = x$. Funktio on tällöin identiteettifunktio, jolla funktion $f(x)$ arvo on sama kuin muuttujan $x$ arvo.

• Kun n = 2, saadaan $f(x)=a x^2$. Tämä on yksinkertaisin kvadraattinen funktio eli neliöllinen funktio eli toisen asteen polynomifunktio. Tunnettuja kvadraattisia funktioita ovat muun muassa geometriassa $A(r)=\pi r^2$ (ympyrän pinta-ala) ja $A(r)=4 \pi r^2$ (pallon pinta-ala).

• Kun n = 3, saadaan $f(x)=a x^3$. Tämä on yksinkertaisin kuutiollinen funktio eli kolmannen asteen polynomifunktio.

Edelliset potenssifunktiot voidaan tulkita verrannollisuuden mukaan. Esimerkiksi, kun n = 2, voidaan sanoa, että funktion arvot ovat suoraan verrannolliset muuttujan toiseen potenssiin eli $f(x) \sim x^2$.

Potenssifunktioita, jolla pariton asteluku

Potenssifunktioita, jolla parillinen asteluku

Eksponenttina kokonaisluku

Eksonentina voi olla myös negatiivinen kokonaisluku. Koska potenssilaskennassa on määritetty

$x^{-n}=\frac {1}{x^n}$

saadaan myös potenssifunktiolle vastaavasti

$f(x)=a x^{-n}=a \frac {1}{x^n}=\frac {a}{x^n}$

Potenssifunktion määrittelyjoukossa on huomioitava nimittäjän rajoitus $x \in \mathbb{R} \smallsetminus {0}$. Potenssifunktiolla, jonka asteluku on negatiivinen, on sen vuoksi määrittelyjoukko ${x \in \mathbb{R} | x \ne 0}$.

Kun n = 1, saadaan niin sanottu käänteislukufunktio (tässä: $a = 1$)

$f(x)=a x^{-n}=a x^{-1}= \frac {1}{x^1}=\frac {1}{x}$

Tällöin funktion arvot ovat muuttujan arvoon nähden kääntäen verrannolliset.

Pariton potenssifunktio, jolla negatiivinen asteluku.

Parillinen potenssifunktio, jolla negatiivinen asteluku.

Eksponentti on rationaaliluku

Jos eksponenttina on rationaaliluku, saadaan

$f(x)=a x^r \qquad a \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} \!$

Jos eksponentti on luonnollisen luvun käänteisluku, joka on muotoa

$r=\frac{1}{n} \qquad n \in \mathbb{N}$

niin potenssifunktio tulkitaan juurifunktioksi:

$f(x)=a x^r=a x^\frac{1}{n}=a \sqrt[n]{x}$

Juurifunktion määrittelyjoukko riippuu juuren asteluvusta. Jos juuren aste on parillinen, rajoitetaan muuttuja ei-negatiiviseksi eli $x \ge 0$. Jos aste on pariton, kuuluvat kaikki luvut määrittelyjoukkoon eli $x \in \mathbb{R}$.

Juurifunktiot, joilla on pariton aste.

Juurifunktiot, joilla on parillinen aste.

Juurifunktion astelukua voidaan nostaa korottamalla se vielä kokonaislukupotensiin m:

$f(x)=a (x^r)^m=a (x^\frac{1}{n})^m=a x^\frac{m}{n}=a \sqrt[n]{x}^m \qquad x \ge 0, n \ne 0, n,m \in \mathbb{N}, a \in \mathbb{R}$

Kaikki 5:nnen asteen juuret.

Kaikki 7:nnen asteen juuret, jotka on korotettu parittomaan potenssiin.

Kaikki 7:nnen asteen juuret, jotka on korotettu parilliseen potenssiin.

Eksponenttina reaaliluku

Kun eksponenttina on reaaliluku, määritellään yleisesti

$f(x)=a x^r \qquad a,r \in \mathbb{R}$.

Kun eksponentina on rationaaluku, lasketaan potenssifunktion arvo edellä kuvatulla tavalla. Niitä reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, kutsutaan irrationaaliluvuiksi. Kun eksponenttina on irrationaalinen luku, lasketaan potenssifunktion arvo raja-arvon avulla. Koska jokaista irrationaalilukua $r$ kohden on olemassa rationaalilukujen jono $q_1, q_2, q_3, \dots$ siten, että jono suppenee kohti irrationaalilukua $r$:

$r = \lim_{i \rightarrow \infty} q_i.$

Potenssifunktion arvo kohdassa $x=s \!$, kun $s \ge 0$ lasketaan silloin

$f(s)=a s^r = \lim_{i \rightarrow \infty} a s^{q_i}.$

Yleistäen voidaan sanoa, että

$f(x)=a x^r = \lim_{i \rightarrow \infty} a x^{q_i}, x \ge 0.$

Potenssifunktion yleisiä ominaisuuksia

Kaikille potenssifunktioille yhteiset pisteet

Kun potenssifunktioille piirretään kuvaajat xy-koordinaatistoon, merkittään funktion argumentin x arvot x-koordinaateiksi ja funktion arvot y-koordinaateiksi eli $(x,f(x))$. Pahden potenssifunktion kuvaajat kulkevat saman pisteen kautta, kun niiden kuvaajilla on samalla x-koordinaatilla samat funktion arvot. Yhteiset pisteet voidaan määrittää yhtälöllä (s > r):

$a x^s=b x^r \Leftrightarrow a x^s-b x^r=0 \Leftrightarrow x^r(a x^{s-r}-b)=0 \Leftrightarrow x^r=0\ \lor \ a x^{s-r}-b=0 \Leftrightarrow x=0 \ \lor \ x= \pm\sqrt[s-r]{\tfrac {a}{b}}$

Joka tapauksessa kohdassa $x=0$ on kaikilla potenssifunktioilla yhteinen piste $(0,0)$, sillä

$f(0)=a 0^r=a 0=0 \!$.

Yhteisiä pisteitä voi siis olla kaksi tai kolme riippuen potenssifunktioiden asteista. Jos eksponenttit ovat molemmat parillisia tai parittomia, saadaan kaksi kohtaa lisää, ja jos toinen on pariton ja toinen parillinen, saadaan vain yksi kohta lisää, missä on yhteinen piste:

$f(\pm\sqrt[s-r]{\tfrac {a}{b}})=a (\pm\sqrt[s-r]{\tfrac {a}{b}})^r =a c^r \!$.

Potenssifunktion derivointi ja integrointi

Potenssifunktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvon avulla. Määritelmän tulokset potenssiosalle voidaan esittää helposti muistettavassa muodossa:

$D x^r=n x^{r-1} \!$

Potenssifunktion tavallinen (Rieman-) integraali on siten

$\int x^r dx = \frac{1}{r+1}x^{r+1} + C \!$, kun $r \ne -1 \!$

tai

$\int x^{-1} dx = \int \frac {1}{x} dx = ln\, \mid x \mid + C \!$, kun $n = -1 \!$.

Katso myös

• Alkeisfunktiot

Lähteet

• Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 1, Funktiot ja yhtälöt, s. 68-71. (lukion oppikirja). Jyväskylä: Kustannusosakeyhtiö Tammi, 2009. ISBN 978-951-26-5822-0.
• Weisstein, Eric W.: Power (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)