Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaava

Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaava on kaava, jolla voidaan ratkaista polynomiyhtälöt, jotka ovat muotoa $ax^4+bx^3+cx^2+ex+f=0$, missä $a\not =0$.

Kaavan johdon idea

Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaava on varsin pitkä, joten esitetään vain idea, jolla kaavaan päädytään. Aluksi yhtälöön tehdään sopiva muotoa $x=y+g$ oleva sijoitus, jolloin kolmannen asteen termin kerroin häviää. Lisätään nyt yhtälöön puolittain termejä siten, että yhtälön vasen puoli voidaan tulkita olevan neliö muotoa $(x^2+g)^2$. Lisätään tämän jälkeen puolittain yhtälön molemmille puolille termejä siten, että yhtälön vasen puoli voidaan tulkita neliöksi $(x^2+g+y)^2$, missä y on tuntematon suure. Kiinnitetään nyt y:n arvo sellaiseksi, että yhtälön oikealla puolella oleva trinomi tulee neliöksi. Tämä saadaan, kun ratkaistaan yhtälön oikealla puolella olevan lausekkeen nollakohdat y:n suhteen. Tämä on mahdollista, sillä saatu yhtälö on kolmatta astetta, ja sille on kehitetty ratkaisukaava. Nyt y:n arvo voidaan sijoittaa alkuperäiseen yhtälöön, ja ottaa yhtälöstä puolittain neliöjuuri. Saatu yhtälö on toista astetta, joten ratkaisemalla tämä yhtälö saadaan selville alkuperäisen yhtälön juuret.

Katso myös

• Bikvadraattinen yhtälö

Aiheesta muualla

• Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaava (Planet Math)
• Ohjelma, joka antaa 2., 3. ja 4. asteen yhtälön ratkaisut, kun siihen syötetään kertoimet