Neliöjuuri

Neliöjuuri luvusta $x$ (merkitään $\sqrt {x}$) on se ei-negatiivinen luku, joka itsellään kerrottuna eli neliöitynä on $x$. Neliöjuuri voidaan määritellä eri lukualueilla. Ei-negatiivisilla $x$:n arvoilla neliöjuuri on funktion $f(x)=x^2$ käänteisfunktio $f(x)=x^\frac{1}{2}$. Negatiivisilla reaaliluvuilla ei ole neliöjuurta reaalilukujen joukossa, vaan kyseinen neliöjuuri on aina imaginääriluku. Kompleksiluvun neliöjuuri on kompleksiluku.

Esimerkiksi:

$\sqrt {9} = 3$, koska $3 \geq 0$ ja $3^2 = 3\cdot 3 = 9$.

$\sqrt {-9} = 3i$, koska $(3i)^2 = 3^2\cdot {i^2} = 9 \cdot (-1) = -9$.

Historiaa

Neliöjuuren symbolia $\sqrt{\;}$ käytettiin ensimmäisen kerran 1500-luvulla. Se on oletettavasti muotoutunut pienestä r-kirjaimesta. Latinan sana radix tarkoittaa juurta.

Neliöjuuren poistaminen nimittäjästä

Suomen kouluissa on opetettu pitkään, että lausekkeessa oleva neliöjuuri tulee laventaa pois nimittäjästä. Tähän oli syynä se, että ennen taskulaskinten aikakautta mahdollinen likiarvon laskeminen oli helpompaa, jos monidesimaalinen juuren likiarvo oli jaettavana eikä jakajana. Laskinten yleistyttyä tämä perustelu on menettänyt merkityksensä, mutta neliöjuuren laventamista osoittajaan vaaditaan usein edelleen.

Esimerkkejä

$\sqrt{100} = 10$

$\sqrt{9} = 3$

$\sqrt{4} = 2$

$\sqrt{1} = 1$

Ominaisuuksia

Olkoot $a$ ja $b$ ei-negatiivisia reaalilukuja.

$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$

$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\qquad (b\ne0)$

$\sqrt{a} = a^\frac{1}{2}$

Geometrisia sovelluksia

Jos neliön pinta-ala tunnetaan ja se on A', neliön sivu on tämän pinta-alan neliöjuuri:

$s = \sqrt{A}$.

Pythagoraan lauseen mukaan jos suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat a ja b, sen hypotenuusan pituus on

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Erityisesti neliön lävistäjän ja sivun pituuksien suhde on $\sqrt{2}$.

Tasasivuisen kolmion korkeus on sen sivun pituus kerrottuna luvulla $\frac {\sqrt{3}}{2}$, ja sen pinta-ala on sen sivun neliö kerrottuna luvulla $\frac {\sqrt{3}}{4}$.

Miten laskea neliöjuuren arvo?

Neliöjuurelle voi saada likiarvoja erilaisten kaavojen ja algoritmien avulla.

Iteraatio

Esimerkiksi babylonialaiset käyttivät seuraavaa algoritmia $\sqrt{x}$:lle:

1. Valitaan mielivaltainen positiivinen luku a(n). Mitä lähempänä juurta sen parempi
2. Valitaan uudeksi luvuksi a1 lukujen a (n) ja x/a aritmeettinen keskiarvo
3. Toistetaan kohta 2

Lasketaan tämän avulla likiarvo neliöjuuri kahdelle, $\sqrt{2}$:

1. Valitaan esimerkiksi a₀ = 1.
2. Lasketaan c = (a₀ + 2/a₀)/2 = (1+2)/2 = 3/2 = 1,5.
3. Valitaan nyt a₁ = 1,5.
4. Lasketaan c = (a₁ + 2/a₁)/2 = (3/2 + 4/3)/2 = 17/12
5. Valitaan a₂ = 17/12
6. Lasketaan c = (a₂ + 2/a₂)/2 = (17/12 + 24/17)/2 = 577/408
7. Valitaan a₃ = 577/408 ≈ 1,41421

Jatketaan loputtomiin. Neljän askeleen jälkeen saatiin likiarvo 1,41421, missä on viisi oikeaa desimaalia.

Tämä algoritmi voidaan kirjoittaa myös lukujonomuodossa:

 $a_0 = 2, a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}$

Määritelty lukujono (a_n) lähestyy arvoa $\sqrt{2}$, kun n lähestyy ääretöntä.

Haarukointi

Haarukoinnilla tarkoitetaan välien puolittamista siten, että haluttu arvo on aina jommassakummassa puolikkaassa. Haetaan esimerkkinä taas likiarvo luvulle $\sqrt{2}$.

1. Valitaan lähtöväliksi esimerkiksi [a,b] = [1 ; 2]. Välin keskipisteeksi saadaan c = 1,5.
2. On löydetty kaksi väliä: [a,c] = [1 ; 1,5] ja [c,d] = [1,5 ; 2]. Koska (1,5)²=2,25 >2, $\sqrt{2}$ ∈ [1 ; 1,5].
3. Valitaan uudeksi väliksi siis [a₁,b₁] = [1 ; 1,5]. Välin keskipiste c₁ = 1,25.
4. Jälleen kaksi väliä: [a₁,c₁] = [1 ; 1,25], [c₁,b₁] =[1,25 ; 1,5]. Koska (1,25)² = 1,5625 < 2, $\sqrt{2}$ ∈ [1,25 ; 1,5].
5. Valitaan uudeksi väliksi siis [a₂,b₂] = [1,25 ; 1,5]. Välin keskipiste c₂ = 1,375.

kaksi väliä: [a₂,c₂] = [1,25 ; 1,375], [c₂,b₂] =[1,375 ; 1,5]. Koska (1,375)² ≈ 1,89 < 2, $\sqrt{2}$ ∈ [1,375 ; 1,5].

1. Jatkamalla näin lähestytään arvoa (laskin) $\sqrt{2}$ ≈ 1,41421...

Kaavalla arvioiminen

Neliöjuurta voi arvioida algebrallisella kaavalla.

Tiedetään, että (a+ (b/2a))² = a² + b + (b²/4a²). Kun a >0 ja b>0 ja c = a² + b, saadaan luvun c neliöjuurelle arvion $\sqrt{c}$ =

√(a2 + b) ≈ √(a2 + b + (b2/4a2)) =
√((a + (b/2a))2) = a + (b/2a).

Kaava (1) √(a² + b) ≈ a + (b/2a)
Esimerkiksi: √7 = √(2²+3) ≈ 2 + 3/(2*2) = 11/4 = 2,75.

Toinen kaava (2) √(a² - b) ≈ a - (b/2a).

Toistamalla tätä menettelyä ja valitsemalla kaava (1) (jos saatu juuri on liian pieni) ja kaava (2) (jos liian suuri) saadaan parempia ja parempia rationaalisia likiarvoja neliöjuuren arvolle.

Esimerkin jatkoa:
Koska (2,75)² > (2,7)² = 7,29 > 7, valitsemme kaava (2).

√7 = √((11/4)² - (9/16)) ≈ (11/4) - (9/16) / (22/4) = 233/88 ≈ 2,648.

Ja niin edelleen.

(laskin) $\sqrt{7}$ ≈ 2,64575...

"Juurikulmassa"

Neliöjuuren ja muiden juurten voi laskea tuttua jakolaskualgoritmia muistuttavalla tavalla. "Juurikulma" perustuu tutulle identititeetille:

$(1)\ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Algoritmin etuna on se, että jokaisen askeleen jälkeen saadaan oikea desimaali ja sitä myötä täsmällinen rationaalinen likiarvo.

"Juurikulman" perustana oleva algoritmi voidaan selittää seuraavasti:

Oletetaan, että halutaan laskea arvon neliöjuuri 144:sta eli $\sqrt{144}$.

Tiedetään, että 100 ≤ 144, joten $10\le \sqrt{144}$.

Käytetään nyt kaavaa (1) ja sijoitetaan siihen a = 10, b = r:

$(10 + r)^2 \le 144$

$100 + 20r + r^2\le 144$

$20r + r^2\le 144 - 100 = 44$

$r(20 + r)\le 44$

Nyt kysymys: mikä on suurin luonnollinen luku r, joka toteuttaa ehdon $r(20 + r)\le 44$?

Selvästi r = 2.

Tässä tapauksessa "jako" menee tasan, eli $2(20 + 2) = 44$ ja siten siis $12^2 = 144$ ja $\sqrt{144} = 12$

Sama lasku "juurikulmassa" tapahtuu seuraavasti:

Jaetaan ensin juurrettava luku kahden numeron osiin desimaalipilkusta alkaen:

144 = 1 44 ja sovelletaan yllä kuvattua algoritmia.

 1  2
|1 44
-1    (=12) 
 0 44
  -44 (=2*(20+2))
    0

Toinen esimerkki $\sqrt{7}$:

Jaetaan taas juurrettava kahden numeron osiin:

7 = 7, 00 00 00 00 00

 2,  6  4  5  7
|7, 00 00 00 00
-4                    (= 22)                                               2
 3 00                                                                      4
-2 76                 (= 6 * (2 * 20 + 6) = 6 * 46)                        46
   24 00                                                                    6
  -20 96              (= 4 * ((400 + 2 * 60) + 4) = 4 * 524)               524
    3 04 00                                                                  4
   -2 64 25           (= 5 * ((5200 + 2 * 40) + 5) = 5 * 5285)             5285
      39 75 00                                                                5
     -37 03 49        (= 7 * (((52800 + 2 * 50) + 7) = 7  * 52907)         52907
       2 71 51                                                                 7
                                                                           52914_

Saadaan likiarvo $\sqrt{7}$ ≈ 2,6457. Huomaa oikeimpana kulkeva lukusarja!

Neliölukujen avulla

Lukuja 1, 4, 9, 16, 25,... sanotaan neliöluvuiksi. Neliöluvut ovat niin sanottuja kuviolukuja.

Neliölukujen avulla saadaan mielenkiintoinen tapa laskea neliöjuuria. Se perustuu siihen, että jokainen neliöluku on peräkkäisten parittomien lukujen summa. Tämä nähdään esimerkiksi algebrallisesti:

$\sum_{k=1}^n (2k - 1) = \sum_{k=1}^n {2k} - \sum_{k=1}^n {1} = 2\sum_{k=1}^n {k} - \sum_{k=1}^n {1} = 2\left(\frac{n(n+1)}{2}\right) - n= n(n+1) - n = n^2$.

Selvemmin mainittu yhteys nähdään esimerkiksi alla olevasta kuviosta:

1   *    4   **  = *  *  = 1 + 3   9   *** = *  *   * = 1 + 3 + 5
             **      **                ***     **   *
                                       ***        ***

16   **** = *  *   *    *      = 1 + 3 + 5 + 7
     ****     **   *    *
     ****        ***    *
     ****            ****

Ja niin edelleen.

Sama toimii toiseenkin suuntaan: vähentämällä luvusta parittomia lukuja saadaan luvun neliöjuuri tai sen likiarvo.

Esimerkki $\sqrt{25}$:

Luvuilla:

(1) 25 - 1 = 24

(2) 24 - 3 = 21

(3) 21 - 5 = 16

(4) 16 - 7 = 9

(5) 9 - 9 = 0

Viisi vähennyslaskua:

$\sqrt{25} = 5$

Kuvioilla:

(0) *****   (1)  ****   (2)   ***   (3)    **   (4)     *   (5) 
    *****       *****         ***          **           *       
    *****       *****       *****          **           *       
    *****       *****       *****       *****           *       
    *****       *****       *****       *****       *****       

Yllä olevassa esimerkissä vähennys meni tasan, ja saatiin tarkka arvo. Samalla algoritmilla voidaan kuitenkin laskea myös likiarvoja juurelle.

Esimerkki $\sqrt2$:

(1) 2 - 1 = 1

Vähennys loppuu tähän, koska 1 - 3 on negatiivinen: $\sqrt{2}$ ≈ 1.

Lisätään vähennysjäännöksen (1) perään kaksi nollaa (100) (vertaa "juurikulma").

Lasketaan viimeisen vähennetyn (1) ja ensimmäisen ei-vähennetyn (3) aritmeettinen keskiarvo: (1+3)/2=2.

Kerrotaan keskiarvo 10:llä (20).

Jatketaan vähennystä seuraavasta parittomasta (21)

(1) 100 - 21 = 79

(2) 79 - 23 = 56

(3) 56 - 25 = 31

(4) 31 - 27 = 4

Vähennys loppuu tähän, koska 4 - 27 on negatiivinen: $\sqrt{2}$ ≈ 1,4

Tehdään kuten edellä: 4 → 400, 10*((27+29)/2) + 1 = 281

(1) 400 - 281 = 119

Vähennys loppuu tähän, koska 119 - 283 on negatiivinen: $\sqrt{2}$ ≈ 1,41

Tehdään kuten edellä: 119 → 11900, 10*((281+283)/2) + 1 = 2821

(1) 11900 - 2821 = 9079

(2) 9079 - 2823 = 6256

(3) 6256 - 2825 = 3431

(4) 3431 - 2827 = 604

Vähennys loppuu tähän, koska 604 - 2829 on negatiivinen: $\sqrt{2}$ ≈ 1,414

Tehdään kuten edellä: 604 → 60400, 10*((2827+2829)/2) + 1 = 28281

(1) 60400 - 28281 = 32119

(2) 32119 - 28283 = 3836

Vähennys loppuu tähän, koska 3836 - 28285 on negatiivinen: $\sqrt{2}$ ≈ 1,4142...