Imaginaariyksikkö

Matematiikassa imaginaariyksikkö mahdollistaa reaalilukujen laajentamisen kompleksilukujen joukkoon. Sen täsmällinen määritelmä riippuu tavasta, jolla laajennus tehdään. Imaginaariyksikköä merkitään useimmiten kirjaimella i, mutta myös merkinnät j ja ι ovat toisinaan käytössä.

Perussyy tähän laajennukseen on, että kaikilla polynomiyhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Erityisesti yhtälö $x^2+1=0$ on tällainen. Ajattelemalla, että kyseisellä yhtälöllä olisikin ratkaisuna imaginaariyksikkö i ja määrittelemällä i:n laskutoimitukset sopivasti, saadaankin jokaiselle reaalikertoimiselle polynomiyhtälölle f(x)=0 ratkaisu. (Katso algebrallinen sulkeuma ja algebran peruslause).

Imaginaariyksikköä voidaan ajatella myös "neliöjuuri −1:nä", mutta tällöin on oltava huolellinen neliöjuurten laskusääntöjen kanssa.

Imaginaariyksikkö on myös osa Eulerin lausetta funktioteoriassa.

Määritelmä

Määritelmän mukaan i on eräs toisen asteen yhtälön

$x^2 + 1 = 0 \$

ratkaisuista. Yhtäpitävästi se on sellainen luku, että i²=−1.

Reaalilukujen laskusäännöt voidaan laajentaa imaginaarisille ja kompleksisille luvuille ajattelemalla lukua i muuttujana, kertomalla lukuja kuten polynomeja ja ottamalla huomioon, että i²=−1. Korkeammista eksponenteista imaginaariyksikön eksponentti voidaan palauttaa välille 0,...,3 kaavan iⁿ=-i^n-2 avulla.

Imaginaariyksikön käänteisluku on sama kuin sen vastaluku, koska

$\frac{1}{i} \;=\; \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \;=\; \frac{i}{i^2} \;=\; \frac{i}{-1} \;=\; -i$.