Kuutiojuuri

$y={\sqrt[{3}]{x}}$

Luvun x kuutiojuuri (merkitään ${\sqrt[{3}]{x}}$ tai x^1/3) on luku a niin, että a korotettuna kolmanteen potenssiin on x. Esimerkiksi luvun $27$ kuutiojuuri on

${\sqrt[{3}]{27}}=3,$

sillä $3\cdot 3\cdot 3=3^{3}=27.$

Kuutioluku on kokonaisluku, jonka kuutiojuuri on myös kokonaisluku.

Geometrisia sovelluksia

Jos kuution tilavuus V tunnetaan, kuution särmän pituus on tämän tilavuuden kuutiojuuri,

$s={\sqrt[{3}]{V}}$.

Kompleksiluvun kuutiojuuri

Kuutiojuuren käsite voidaan yleistää myös kompleksiluvuille. Jokaista kompleksilukua x + yi kohti, nollaa lukuun ottamatta, on kolme sellaista kompleksilukua u + vi, joiden kuutio on x + yi. Esimerkiksi kompleksiluvun 1 (=1 + 0i) kuutiojuuret ovat $1$, $-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ ja $-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$. Kuutiojuuren pääarvoksi sanotaan sitä juurta, jolla on itseisarvoltaan pienin argumentti.

Useimmissa tapauksissa kompleksiluvun x+yi kuutiojuuren arvojen $u+vi={\sqrt[{3}]{x+yi}}$ reaali- ja imaginaariosia u ja v ei kuitenkaan voida esittää x:n ja y:n algebrallisena lausekkeena. Sen sijaan ne voidaan määrittää trigonometristen funktioiden ja De Moivren kaavan avulla.

Tämä perustuu siihen, että kompleksiluku voidaan esittää myös napakoordinaateissa, sen itseisarvon (moduulin, r) ja vaihekulman (argumentin, $\phi$) avulla:

$x+yi=r(\cos {\phi }+i\sin {\phi })$,

missä

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ja

$\phi =\arccos {\frac {x}{r}}=\arcsin {\frac {y}{r}}=\arctan {\frac {y}{x}}$.

Geometrisesti kompleksiluvun moduuli merkitsee sen kompleksitasolla olevan vastinpisteen etäisyyttä origosta, argumentti taas origosta kyseiseen pisteeseen johtavan suoran ja reaaliakselin (x-akselin) välistä kulmaa.

De Moivren kaavan mukaan

$r(\cos {\phi }+i\sin {phi})^{n}=r^{n}(\cos {n\phi }+i\sin {n\phi })$,

ja erityisesti

$r(\cos {\phi }+i\sin {phi})^{3}=r^{3}(\cos {3\phi }+i\sin {3\phi })$

josta saadaan kääntäen:

${\sqrt[{3}]{r(\cos {\phi }+i\sin {\phi })}}={\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\frac {phi}{3}}+i\sin {\frac {\phi }{3}})$

Toisin sanoen kompleksiluvun kuutiojuuren moduuli on alkuperäisen kompleksiluvun x + bi moduulista ja argumentti kolmasosa alkuperäisen kompleksiluvun argumentista. Näin saadaan kuutiojuuren pääarvo. Kun kompleksiluvun argumenttiin kuitenkin voidaan lisätä tai vähentää mikä tahansa 2$\pi$:n monikerta tahansa kompleksiluvun arvon pysyessä ennallaan, on kaksi muutakin kompleksilukua, joiden kuutio on sama, nimittäin: ${\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\frac {\phi }{3}}+i\sin {\frac {\phi +2\pi }{3}})$ ja ${\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\frac {\phi }{3}}+i\sin {\frac {\phi -2\pi }{3}})$

Näin saadaan kompleksiluvun x + yi kuutiojuurille lausekkeet:

${\sqrt[{6}]{x^{2}+y^{2}}}(\cos {\frac {\arctan {\frac {y}{x}}}{3}}+i\sin {\frac {\arctan {\frac {y}{x}}}{3}})$,

${\sqrt[{6}]{x^{2}+y^{2}}}(\cos {\frac {\arctan {({\frac {y}{x}}}+2\pi )}{3}}+i\sin {{\frac {\arctan {({\frac {y}{x}}}+2\pi )}{3}})}$ ja

${\sqrt[{6}]{x^{2}+y^{2}}}(\cos {\frac {\arctan {({\frac {y}{x}}}-2\pi )}{3}}+i\sin {{\frac {\arctan {({\frac {y}{x}}}-2\pi )}{3}})}$.

Katso myös

• Kuutio (algebra)
• Neliöjuuri
• Kuution kahdentaminen
• Juuri (laskutoimitus)