Neliöluku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Neliöluku on positiivinen kokonaisluku, jonka osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa neliön muotoinen kuvio. [1] Polygonal Number 4.gif

Neliöluvut voidaan määrittää lausekkeella n^2, jossa n on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 9 on neliöluku, koska 3^2 = 9.[1] Kymmenen ensimmäistä neliölukua ovat 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ja 100. [2]

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa neliöluvussa N_n pariton luku 2n+1.

Neliöluvut ovat kolmiolukujen jälkeen yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioden lukuja[3]. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliöluvut N_n saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan n peräkkäistä paritonta lukua yhteen:

N_n= \sum_{k=1}^n (2k-1) = 1+3+5+7+ \dotsb +(2n-1) = n^2. [1]

Tämä voidaan tulkita summaksi, jossa ensinmäisenä lukuna on pienin neliöluku N_1=1 ja sitten siihen lisätään gnomoneita g_n=2n+1

N_n=N_1+g_1+g_2+ \dots +g_{n-1}.

Neliölukujoukon komplementti eli ei-neliölukujen joukko voidaan muodostaa lausekeen a_n=n+\left \lfloor \frac{1}{2}+ \sqrt{n} \right \rfloor avulla, missä käytetään lattiafunktioita. Lausekkeesta saadaan luvut 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... , joista puuttuvat neliöluvut.[1]

Yhteyksiä matematiikkaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliölukujen ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavan neliöluvun voi muodostaa rekursiivisesti edellisen neliöluvun avulla seuraavasti.

Square number 1 with gnomon.svg Square number 4 with gnomon.svg Square number 9 with gnomon.svg Square number 16 with gnomon.svg
0 + \color{blue}1 \color{black}= 1 1 + \color{blue}3 \color{black}= 4 4 + \color{blue}5 \color{black}= 9 9 + \color{blue}7 \color{black}= 16

Rekursiivisesti ilmaistuna seuraava neliöluku on N_{n+1}=N_n+(2n-1)=n^2+(2n-1)=n^2+n+1=(n+1)^2.</math>[1]

Kytkentä muihin kuviolukuihin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliöluvut voidaan aina esittää kahden kolmioluvun avulla

N_n=T_n+T_{n-1}=\frac{1}{2}n(n+1) + \frac{1}{2}(n-1)n=n^2[1]

Yhteyksiä muuhun matematiikkaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos luku n parillinen luku, niin luvut n-1 ja n+1 ovat peräkkäiset parittomat luvut. Vastaavasti, jos n on pariton luku, niin luvut ovat peräkkäiset parilliset luvut. Peräkkäisten parillisten (parittomien) lukujen tulo yhdellä lisättynä on neliöluku eli

N_n=(n-1)(n+1) + 1= (n^2-1)+1=n^2. [1]

Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintan neljän neliöluvun summana. Tälläisia tapauksia ovat esimerkiksi 3=1^2+1^2+1^2, 4=2^2, 5=2^2+1^2 ja 7=2^2+1^2+1^2+1^2. Samoin jokainen luku voidaan esittää korkeintaan kolmen etumerkillisen neliöluvun summana eli esimerkiksi 3=2^2-1^2, 5=2^2+1^2 ja 7=3^2-1^2-1^2.[1]

Neljän parittoman luvun neliöiden summa voidaan lausua myös neljän parillisen luvun neliöitten summana.[1]

Alkuluku p, joka voidaan lausua muodossa p=4n+1, voidaan esittää kahden luvunneliön summana. Esimerkiksi luku 29 on tällainen luku, koska 29=4 \cdot7 +1=2^2+5^2.[4]

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut, neliöluvut ja muut monikulmioluvut olivat keskeinen osa lukujen oppirakennelmaa. [5] Euroopassa Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa. Hänen todistusmenetelmänsä selittivät monia kuviolukujen ominaisuuksia ja kasvanut kiinnostus lukuihin kiteytyi lukuteoriassa, joka voidaan syntyneen tästä harrastuksesta. [6]

Fermat esitti kirjeenvaihdossaan teoreeman, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. Teoreeman todisti yleisellä tasolla ensimmäisenä Augustin-Louis Cauchy. [7]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.
  1. a b c d e f g h i Weisstein, Eric W.: Square Number (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. OEIS: Trangular number
  3. Weisstein, Eric W.: Polygonal Number (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 499
  5. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 93 - 95
  6. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 498 - 501
  7. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 726