Itseisarvo

Matematiikassa itseisarvo kuvaa luvun suuruutta riippumatta sen etumerkistä.

Reaaliluvun itseisarvo

Itseisarvon kuvaaja origon läheisyydessä. Kuvaajasta ilmenee, ettei itseisarvo voi saada negatiivisia arvoja.

Reaaliluvun itseisarvo on sen etäisyys lukusuoran nollasta riippumatta, onko luku positiivinen tai negatiivinen. Luvun $a$ itseisarvoa merkitään $|a|$. Itseisarvon muodollinen määritelmä on

$|a|=\begin{cases} a, & \mbox{jos }a \ge 0 \\ -a, & \mbox{jos }a < 0 \end{cases}.$

Positiivisen reaaliluvun ja nollan itseisarvo on luku itse, negatiivisen reaaliluvun itseisarvo on luvun vastaluku eli luku kerrottuna luvulla −1. Esimerkiksi luvun kolme itseisarvo merkitään $|3|$ ja se on 3. Miinus kahden itseisarvo puolestaan on kaksi, $|-2| = 2$. Helpoiten negatiivisen lukuarvon itseisarvon saa lasketuksi poistamalla miinusmerkin.

Kompleksiluvun itseisarvo

Kompleksiluvun c = a + ib itseisarvo on $|c| = |a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Tämä on sama kuin kompleksilukua c kompleksitasolla vastaavan pisteen etäisyys origosta.

Muita itseisarvoja

Vektorin itseisarvosta käytetään tavallisesti nimitystä normi ja se vastaa vektorin euklidista pituutta. Tavallisen kolmiulotteisen vektorin v pituus on

$|\mathbf{v}| = |a \mathbf{i} + b \mathbf{j} + c \mathbf{k}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Kvaternion itseisarvo määritellään analogisesti vektorien kanssa

$|q| = |a + ib + jc + kd| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$

Itseisarvon ominaisuuksia

Itseisarvolle voidaan todeta pätevän seuraavat laskusäännöt. Olkoon $a,b \in \mathbb{R}$. Tällöin pätee

$\ |-a| = |a|$

$\ |ab| = |a||b|$

$\ |a^2| = |a||a| = |a|^2$

$\ |a| - |b| \le ||a| - |b|| \le |a \pm b| \le |a| + |b|$

$\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{|a|}{|b|}$