Itseisarvo

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Tämä artikkeli käsittelee matemaattista itseisarvoa. Itseisarvo on myös moraalifilosofian termi.

Matematiikassa itseisarvo kuvaa luvun suuruutta riippumatta sen etumerkistä.

Reaaliluvun itseisarvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Itseisarvon kuvaaja origon läheisyydessä. Kuvaajasta ilmenee, ettei itseisarvo voi saada negatiivisia arvoja.

Reaaliluvun itseisarvo on sen etäisyys lukusuoran nollasta riippumatta, onko luku positiivinen tai negatiivinen. Luvun a itseisarvoa merkitään |a|. Itseisarvon muodollinen määritelmä on

|a|=\begin{cases} a, & \mbox{jos }a \ge 0 \\ -a, & \mbox{jos }a < 0  \end{cases}.

Positiivisen reaaliluvun ja nollan itseisarvo on luku itse, negatiivisen reaaliluvun itseisarvo on luvun vastaluku eli luku kerrottuna luvulla −1. Esimerkiksi luvun kolme itseisarvo merkitään |3| ja se on 3. Miinus kahden itseisarvo puolestaan on kaksi, |-2| = 2. Helpoiten negatiivisen lukuarvon itseisarvon saa lasketuksi poistamalla miinusmerkin.

Kompleksiluvun itseisarvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kompleksiluvun c = a + ib itseisarvo on |c| = |a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}. Tämä on sama kuin kompleksilukua c kompleksitasolla vastaavan pisteen etäisyys origosta.

Muita itseisarvoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vektorin itseisarvosta käytetään tavallisesti nimitystä normi ja se vastaa vektorin euklidista pituutta. Tavallisen kolmiulotteisen vektorin v pituus on

|\mathbf{v}| = |a \mathbf{i} + b \mathbf{j} + c \mathbf{k}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Kvaternion itseisarvo määritellään analogisesti vektorien kanssa

|q| = |a + ib + jc + kd| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}

Itseisarvon ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Itseisarvolle voidaan todeta pätevän seuraavat laskusäännöt. Olkoon a,b \in \mathbb{R}. Tällöin pätee

\ |-a| = |a|
\ |ab| = |a||b|
\ |a^2| = |a||a| = |a|^2
\ |a| - |b| \le ||a| - |b|| \le |a \pm b| \le |a| + |b|
\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{|a|}{|b|}


Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.