Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava on Niccolò Tartaglian keksimä kaava ratkaista yhtälöt muotoa

$ax^3+bx^2+cx+d=0,$

missä $a\not =0$. Kun yhtälö jaetaan a:lla ja sijoitetaan x=y-b/3a, saadaan yhtälö muotoon y³+py+q=0. Jos p=0 nähdään, että yhtälöllä on ratkaisuna y=q^(1/3). Siten y³+py+q=0 on jaollinen polynomilla y-q^(1/3) ja saatu toisen asteen yhtälö on helppo ratkaista. Keskitytään siis tapaukseen, missä $p\not =0.$

Sijoittamalla y=u+v yhtälöön y³+py+q=0 saadaan yhtälö muotoon

$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0.$

Nyt voidaan valita u ja v siten, että 3uv=-p. Tällöin saadaan

$u^ 3-\frac{p^3}{27u^3}+q=0.$

Tämä näennäisesti kuudennen asteen yhtälö palautuu sijoituksella t=u³ toisen asteen yhtälöksi. Kun nämä arvot on saatu, voidaan päätellä edellisten sijoituksessa saatujen muuttujien arvot ja lopulta polynomin juuret saadaan selville.

Ratkaisut

Suoraan yhtälön kertoimista juuret saadaan kaavoilla: $\begin{align} x_1 = &-\frac{b}{3 a}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\\\ x_2 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\\\ x_3 = &-\frac{b}{3 a}\\ &+\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\ &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}} \end{align}$

Nämä ratkaisut pätevät sellaisenaan, jos kaikki kertoimet (a, b, c, d) ovat reaalilukuja ja lauseke $\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3$, josta tässä otetaan neliöjuuri, on positiivinen (tai nolla). Jos tämä lauseke on negatiivinen, sen neliöjuuri on imaginaariluku, jonka imaginaariosa on positiivinen, ja lauseke, josta otetaan kuutiojuuri, on kompleksiluku. Kompleksiluvun kuutiojuuren reaali- ja imaginaariosat voitaisiin ratkaista muodostamalla niistä toinen kolmannen asteen yhtälö, mutta helpoimmin ne on laskettavissa muuntamalla alkuperäinen kompleksiluku Eulerin kaavan avulla muotoon re^iφ, jolloin sen kuutiojuuri on $\sqrt[3]{r} e^{{\frac{i \varphi}{3}}}$.

Aiheesta muualla

• Ohjelma, joka antaa 2., 3. ja 4. asteen yhtälön ratkaisut, kun siihen syötetään kertoimet