Hyperbeli

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Hyperbeli on kartioleikkaus.

Hyperbeli on toisen asteen käyrä, joka määritellään seuraavasti:

Hyperbelin muodostavat ne tason pisteet, joiden kahdesta polttopisteestä mitattujen etäisyyksien erotus on vakio. Jos valitaan polttopisteet F1 ja F2, hyperbelin pisteellä X on ominaisuus \big| |X − F1| − |X − F2| \big| = vakio (vertaa ellipsiin). Hyperbeli syntyy myös, kun taso leikkaa kaksiosaisen kartion molempia osakartioita.

Hyperbelin yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Origokeskinen hyperbeli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun suorien y = \frac{a}{b}x ja y = - \frac{a}{b}x leikkauspiste on origossa, on hyperbelin yhtälö \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, a, b \in\mathbb{R} ja a > 0. Tällöin hyperbelin huiput ovat (−a, 0) ja (a, 0).

Myös käänteislukufunktion kuvaaja on origokeskeinen hyperbeli, jonka toinen haara sijaitsee ensimmäisessä ja toinen kolmannessa neljänneksessä. Suorat, jotka ovat hyperbelien asymptootit, ovat nyt koordinaattiakselit ja ne leikkaavat origossa. Hyperbelien huiput ovat (1,1) ja (-1,-1).

Hyperbeli voidaan esittää hyperbolisten funktioiden avulla myös parametrimuodossa

\left\{\begin{matrix}x = a\cosh{t} \\ y = b\sinh{t}\end{matrix}\right. , jossa a,b,t\in\mathbb{R}.

Yleinen hyperbeli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbeli voidaan koordinaatiston muunnoksella muuttaa muotoon, jossa hyperbelin polttopisteet ovat koordinaattiakselilla. Tämä tapahtuu muodostamalla hyperbelin kertoimista matriisi ja soveltamalla matriisiin sopivaa muunnosta.

Liittohyperbeli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Liittohyperbeli on hyperbelin erikoistapaus, joka on muotoa \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1.

Yksikköhyperbeli[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksikköhyperbeli on hyperbeli, jossa a = b = 1, joten hyperbeli on muotoa x^2 - y^2 = 1.

Hyperboloidi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Hyperbeliä vastaava kolmiulotteinen kappale on hyperboloidi.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]