Ympyrä

Ympyrä ja sen osia

Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (keskipisteestä) on tietty positiivinen vakio. Tätä joukkoa kutsutaan myös ympyrän kehäksi tai piiriksi. Jana, joka kulkee keskipisteestä kehälle, on ympyrän säde. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan jänteeksi. Halkaisija on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale on pallo.

Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli ympyräkiekon aluetta. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.

Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella $\pi\ \,$.

Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala

Ympyrän kehän (piirin) pituus $p$ saadaan kaavasta:

$p = 2 \pi r\$, jossa $r$ on ympyrän säde.

Voidaan myös ilmaista säde halkaisijan avulla, eli $2r = d$:

$p = \pi d\$

Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala $A$ saadaan kaavasta:

$A = \pi{r^2}\,$, missä $r$ on ympyrän säde tai vastaavasti:

$A = \frac{\pi}{4}d^2$, jossa $d$ on ympyrän halkaisija.

Jos ympyrän halkaisija $d$ ja kehän pituus $p$ tunnetaan, voidaan pinta-ala laskea (ilman lukua $\pi$) kaavasta:

$A = \frac{pd}{4}$

Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, on ympyrä sellainen käyrän muoto, joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.

Matemaattisesti tämä tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon $p$ sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän pituus ja $A$ sen rajaaman tasoalueen pinta-ala. Tällöin

$\frac{p^2}{A}\geq 4\pi$

missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.

Ympyrän sektori ja kaari

Ympyrän sektori tarkoittaa kahden ympyrän säteen rajaamaa ympyrän aluetta. Ympyrän sektorin pinta-ala voidaan laskea jakamalla näin syntyneen keskuskulman asteluku ympyrän pinta-alan kaavalla.

Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla $A = \pi{r^2}\,$

Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa. Esim. Sektori jakaa ympyrän kaaren kahteen osaan.

Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla $p = 2 \pi r\$

Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa

Keskipisteen ja säteen avulla

Olkoon piste (x₀,y₀) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x₀,y₀) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan

$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$

Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan

$r = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$

Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto

$r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\,\!$

Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:

$x^2+y^2+ax+by+c=0\,\!$ , jossa a, b, c ja r ovat reaalilukuja

Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö

$r^2=x^2+y^2\,\!$

joka on parametrimuodossa:

$\left\{\begin{matrix}x = r\cos{t} \\ y = r\sin{t}\end{matrix}\right.$

Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio

Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.

Kolmen pisteen avulla

Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään $\scriptstyle P_1(x_1,y_1),$ $\scriptstyle P_2(x_2,y_2)$ ja $\scriptstyle P_3(x_3,y_3)$, voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla

$\begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0,$

joka on evaluoituna

$a(x^2 + y^2) + b_xx + b_yy + c =0,$

missä

$a \equiv \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix},$

x:n kerroin $b_x$ saadaan matriisista

$D=\begin{bmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ \end{bmatrix}$

jättämällä $x_i$ termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti $b_y$:n suhteen) determinantista

$b_x= - \begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix}$

ja

$b_y=\begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & 1 \\ \end{vmatrix},$

ja vakiotermi c

$c \equiv - \begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 \\ \end{vmatrix}.$

Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2,$

missä keskipisteen koordinaatit ovat

$x_0=-\frac{b_x}{2a}$

ja

$y_0=-\frac{b_y}{2a}$

sekä säde

$r=\frac{\sqrt{b_x^2+b_y^2-4ac}}{2|a|}.$

Ympyrän kulmia

Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kyki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.

Katso myös

• Säde, Jänne, Halkaisija
• Kehä, Ympyrän kaari
• Tangentti
• Pallo, Ellipsi
• Pisteen potenssi
• Ympyrän keskipisteen konstruointi

Aiheesta muualla

• Opetusvideo ympyrän kehän ja kaaren pituudesta
• Opetusvideo ympyrään liittyvistä käsitteistä
• Opetusvideoita ympyrään liittyvistä pinta-aloista