Pinta (geometria)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Osa artikkelisarjaa
Geometria
Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (X,\mathcal{T}) topologinen avaruus. Tällöin joukon X pinta on mikä tahansa jatkuva kuvaus \omega : D \rightarrow X, missä joukko D \subset \mathbb{R}^2 on yhtenäinen.

Kuvauksen \omega kuvajoukkoa \omega (D) kutsutaan pinnan \omega kuvaajaksi. Usein tosin pinnan kuvaajaa kutsutaan lyhyesti vain pinnaksi.

\mathbb{R}^n:n pinnat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Euklidisen avaruuden \mathbb{R}^n pintoja kutsutaan yleensä parametrisoiduiksi pinnoiksi. Nimitys juontuu siitä, että voimme aina kirjoittaa pinnan \omega : D \rightarrow \mathbb{R}^n kaavan jatkuvien funktioiden \omega_1, \omega_2, ..., \omega_n : D \rightarrow \mathbb{R} avulla siten, että pisteessä (x,y) \in \mathbb{R}^2 pinnan \omega kaava

\omega (x,y) = (\omega_1 (x,y),\omega_2 (x,y),..., \omega_n (x,y)).

Funktioita \omega_1, \omega_2, ..., \omega_n kutsutaan pinnan \omega koordinaattifunktioiksi.

Oletetaan, että \omega : D \rightarrow \mathbb{R}^n on pinta ja että sen koordinaattifunktioiden \omega_1, \omega_2, ..., \omega_n osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia (ts. ne koordinaattifunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia). Määrittelemme, että pinnan \omega osittaisderivaatat pisteessä (x,y) \in D ovat funktiot \partial_1 \omega, \partial_2 \omega : D \rightarrow \mathbb{R}^n,

\partial_1 \omega (x,y) = (\partial_1 \omega_1 (x,y),\partial_1 \omega_2 (x,y),..., \partial_1 \omega_n (x,y))

\partial_2 \omega (x,y) = (\partial_2 \omega_1 (x,y),\partial_2 \omega_2 (x,y),..., \partial_2 \omega_n (x,y)).

Näiden osittaisderivaattojen avulla voimme määritellä pinnan \omega derivaatan. Pinnan \omega derivaattafunktio on funktio \omega ' : D \rightarrow \lbrace M : M \mbox{ on } n \times 2-\mbox{matriisi} \rbrace,

\omega ' (x,y) = \begin{bmatrix}
\partial_1 \omega_1 (x,y) & \partial_2 \omega_1 (x,y) \\
\partial_1 \omega_2 (x,y) & \partial_2 \omega_2 (x,y) \\
\vdots & \vdots \\
\partial_1 \omega_n (x,y) & \partial_2 \omega_n (x,y) \end{bmatrix}.

Derivaattafunktion kaavaa \omega ' (x,y) kutsumme lyhyesti derivaataksi pisteessä (x,y). Lisäksi sanomme, että pinta on derivoituva jos sillä on olemassa derivaattafunktio (eli derivaatta jokaisessa D:n pisteessä).

Pinnan derivaatan hyöty näkyy esimerkiksi siinä, että jos (x_0,y_0) \in D, niin lineaarinen funktio T : D \rightarrow \mathbb{R}^n,

T (x,y) = \omega (x_0,y_0) + \omega ' (x_0,y_0) (x-x_0,y-y_0),

on likimääräisesti sama kuin itse pinta \omega pisteen (x_0,y_0) läheisyydessä. Funktiota T kutsutaan pinnan \omega tangenttitasoksi pisteessä (x_0,y_0).

\mathbb{R}^3:n pintojen tärkeä sovellus on ns. pintaintegraali.