Suora

Suora $y = \frac{1}{2}x + 1$ karteesisessa koordinaatistossa

Geometriassa suora tarkoittaa sellaista äärettömän pituista käyrää, jolla ei ole kaarevuutta. Toisinsanoen suora on lineaarinen. Suoralla on vain joko leveys tai pituus, toisin kuin esimerkiksi pisteellä tai tasolla. Suora on siis yksiulotteinen objekti. Päätepisteiden rajaamaa suoran osaa kutsutaan janaksi.

Määritelmä

Suora määritellään seuraavien aksioomien mukaan

1. Tasossa on olemassa osajoukkoja, joita kutsutaan suoriksi.
2. Jokaista kahta eri pistettä $A\,$ ja $B\,$ kohti on olemassa yksi ja vain yksi suora $l\,$ jolla $A\in l$ ja $B\in l$
3. Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettä. Tasossa on ainakin kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.
4. Suorille on määritelty relaatio välissä: Jos piste $C\,$ on pisteiden $A\,$ ja $B\,$ välissä, niin $A\,$, $B\,$ ja $C\,$ ovat suoran eri pisteitä. Tällöin $C\,$ on myös pisteiden $B\,$ ja $A\,$ välissä.
5. Jos $A\,$ ja $B\,$ ovat eri pisteitä, niin suoralla $AB\,$ on piste $C\,$ siten että $B\,$ on pisteiden $A\,$ ja $C\,$ välissä.
6. (Paschin aksiooma) Olkoon piste $C\,$ suoran $AB\,$ ulkopuolella. Olkoon $a\,$ suora ja $A \not\in a$, $B \not\in a$, $C \not\in a$. Jos $a\,$ leikkaa janan $AB\,$, niin se leikkaa ainakin toisen janoista $AC\,$ ja $BC\,$.

Antiikin Kreikassa Eukleides määritteli teoksessaan Alkeet suoran seuraavasti.

1. Viiva on pituudeton leveys.
2. Viivan äärirajat ovat pisteitä.
3. Suora viiva on viiva, joka lepää tasaisesti pisteillään.

Määritelmä on ongelmallinen, sillä viimeinen kohta ei ole yksikäsitteisesti tulkittavissa.

Suora analyyttisessa geometriassa

Kaksiulotteisessa karteesisessa koordinaatistossa $\mathbb{R}^2$ eli $xy$-tasossa suora on muotoa

$y = k x + b\,$,

eli ensimmäisen asteen polynomifunktion $kx\,$ ja vakiofunktion $b\,$ kuvaaja. Esimerkiksi funktion $y = f(x) = 2x - 1$ kuvaaja on nouseva suora.

Kolmiulotteisen avaruuden suora voidaan määritellä vektorien avulla. Olkoot $x$ ja $y$ pisteitä kolmiulotteisessa avaruudessa $\mathbb{R}^3$. Näitä pisteitä vastaavat paikkavektorit ovat

${\mathbf{x}} = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{pmatrix} \quad \text{ja} \quad {\mathbf{y}} = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ \end{pmatrix},$

missä $x_1$, $x_2$ ja $x_3$ sekä $y_1$, $y_2$ ja $y_3$ ovat pisteiden $x$ ja $y$ koordinaatit.

Pisteiden $x$ ja $y$ kautta kulkevan suoran $l\,$ suuntavektori $\mathbf{s}$ on

${\mathbf{s}} = \begin{pmatrix} y_1-x_1\\ y_2-x_2\\ y_3-x_3\\ \end{pmatrix}.$

Suoran $l\,$ pisteiden $S$ paikkavektoreille $\mathbf{S}$ saadaan yhtälö $\mathbf{S} = \mathbf{x} + t \mathbf{s}$, missä t on reaaliluku. Suora $l\,$ on siis pistejoukko $\{\, S \in \mathbb{R}^3 \mid \mathbf{S} = \mathbf{x} + t \mathbf{s}, t \in \mathbb{R} \,\}$. Huomaa, että kun $t = 0$, saadaan piste $x$ ja kun $t = 1$, saadaan piste $y$.

Suora voidaan määritellä myös kahden tason leikkauksena.

Kulmakerroin

Suoran kulmakerroin kuvaa suoran kasvunopeutta ja suuntaa. Merkitään kulmakerrointa muuttujalla $k\,$. Suora voidaan esittää muodossa

$y = kx + b\,$.

Esimerkiksi suoran $y = 2x - 3\,$ kulmakerroin on $2$.

Yleisesti suoran $k_0 x_0 + k_1 x_1 + ... + k_n x_n + b = 0\,$ kasvusuunta akselin $x_i$ suuntaan on $\Delta y/\Delta x_i\,$. $\Delta x\,$ lasketaan kahden suoralla esiintyvän pisteen erotuksena.