Paralleeliaksiooma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Osa artikkelisarjaa
Geometria
Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Paralleeliaksiooma, paralleelipostulaatti eli yhdensuuntaisaksiooma on Eukleideen geometrian aksiooma. Sen mukaan

annetun suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee aina yksi ja vain yksi annetun suoran kanssa yhdensuuntainen suora, toisin sanoen sellainen suora, joka kuuluu samaan tasoon mutta ei leikkaa annettua suoraa.

Paralleeliaksiooma Eukleideen esittämässä muodossa: jos suora leikkaa kaksi muuta suoraa siten, että sisäpuolisten, leikkaajan samalla puolella olevien kulmien summa on vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa, nämä kaksi suoraa leikkaavat toisensa sillä puolella.

Loogisesti yhtäpitäviä muotoiluja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aksiooma voidaan esittää monessa keskenään loogisesti yhtäpitävässä muodossa. Edellä esitetty muotoilu tunnetaan myös nimellä Plyfairin aksiooma, skotlantilaisen matemaatikon John Plyfairin mukaan. Euklideen alkuperäisessä teoksessa aksiooma oli kuitenkin muotoiltu näin:

Jos suora leikkaa kaksi muuta suoraa siten, että sisäpuolisten, leikkaajan samalla puolella olevien kulmien summa on vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa, siinä tapauksessa nämä kaksi suoraa riittävän kauas jatkettuina leikkaavat myös toisensa sillä puolella, jossa sanottujen kulmien summa on pienempi kuin kaksi suoraa kulmaa.

Voidaan osoittaa, että nämä kaksi muotoilua ovat keskenään yhtäpitävät.

Aikojen kuluessa useat matemaatikot yrittivät selvittää, voitaisiinko paralleeliaksiooma todistaa geometrian muiden aksioomien avulla. Osoittautui kuitenkin, että jokaisessa sellaisessa yrityksessä käytettiin, tietoisesti tai tiedostamatta, hyväksi jotakin olettamusta, joka on yhtäpitävä paralleelipostulaatin kanssa ja jota myöskään ei voida todistaa Eukleideen muiden aksioomien avulla. Tällaisia olettamuksia, jotka voitaisiin käsittää myös paralleeliaksiooman vaihtoehtoisiksi muotoiluiksi, ovat esimerkiksi seuraavat:


  1. Jokaisen kolmion kulmien summa on 180°.
  2. On olemassa kolmio, jonka kulmien summa on 180°.
  3. Kaikilla kolmioilla kulmien summa on sama.
  4. On olemassa kolmioita, jotka ovat yhdenmuotoisia, mutta eivät yhteneviä.
  5. Jokaisen kolmion ympäri voidaan piirtää ympyrä.
  6. Jos suunnikkaan kulmista kolme on suoria kulmia, neljäskin on.
  7. On olemassa nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat suoria.
  8. On olemassa kaksi suoraa, joiden keskinäinen etäisyys on vakio.
  9. Jos kaksi suoraa kumpikin ovat yhdensuuntaisia erään kolmannen suoran kanssa, ne ovat myös keskenään yhdensuuntaisia.
  10. Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta ja on molempien kanssa samassa tasossa, se leikkaa toisenkin.
  11. Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin muiden sivujen neliöiden summa (Pythagoraan lause).
  12. Kolmion pinta-alalla ei ole ylärajaa.[1]
  13. Jos nelikulmiossa kaksi vierekkäistä kulmaa on suoria ja niistä alkavat kaksi vastakkaista sivua yhtä pitkiä, sen kaikki kulmat ovat suoria (Saccherin nelikulmio).

Lopulta 1800-luvulla kuitenkin osoitettiin, että se on loogisesti muista aksioomista riippumaton. Onkin kehitetty myös epäeuklidinen geometria, jossa paralleeliaksiooma ei ole voimassa.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.