Geometria

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Osa artikkelisarjaa
Geometria
POV-Ray-Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

René Descartes: La Geometrie (1637).

Geometria (kreik. γεωμετρία, maanmittaus) on matematiikan ala, joka tutkii kuvioita ja kappaleita ja niiden ominaisuuksia. Vanha suomen kielen nimitys on mittausoppi.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geometrian varhaisia merkittäviä tekstejä oli Eukleideen noin vuonna 300 eaa. kirjoittama oppikirja Alkeet. Teos koostuu 13 kirjasta, joissa käsitellään euklidista geometriaa ja aikakauden lukuteoriaa. 1600-luvun alkupuolella René Descartes ja Pierre de Fermat kehittivät analyyttisen geometrian. Venäläinen matemaatikko Nikolai Lobatševski kehitti 1800-luvun alussa epäeuklidisen geometrian, jossa euklidisen geometrian viides aksiooma ei pitänyt paikkaansa. 1800-luvun aikana geometrian edistykseen vaikuttivat myös analyysin ja differentiaaligeometrian parissa työskennellyt Bernhard Riemann ja algebrallisen topologian luoja Henri Poincaré.

Babylonialaiset, egyptiläiset, intialaiset ja kiinalaiset käyttivät apunaan geometriaa jo paljon ennen ajanlaskumme alkua. Järjestelmälliseksi geometria kehittyi Kreikassa. Sieltä on myös peräisin sana geometria, joka tarkoittaa maanmittausta.

Paralleeliaksiooma[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geometrian kehitystä antiikista 1800-luvun alkupuolelle väritti tasogeometrian paralleeliaksiooman ongelma. Euklidinen paralleeliaksiooma kuuluu seuraavasti:

suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora.

Aksiooman uskottiin mahdollisesti seuraavan muista Eukleideen aksioomista, jolloin se olisi turha ja sen voisi jättää aksioomaluettelosta pois. Yritykset johtaa paralleeliaksioomaa muista aksioomista käsin olivat kuitenkin turhia. Paralleeliaksiooma on riippumaton tasogeometrian aksioomista — sitä ei siis edes voi todistaa tai kumota. Tämän osoittivat 1820-luvulla, ilmeisesti toisistaan riippumatta, Carl Gauss, Janos Bólyai ja Nikolai Lobatševski.[1]

Paralleeliaksiooman riippumattomuus antoi mahdollisuuden tutkia uudenlaisia geometrioita, joissa hylätään euklidinen paralleeliaksiooma ja oletetaan jokin sen kanssa ristiriitainen paralleeliominaisuus. Esimerkkeinä näistä vaihtoehtoisista paralleeliominaisuuksista ovat hyperbolinen paralleeliaksiooma

suoran ulkopuolelle olevan pisteen kautta kulkee vähintään kaksi suoran kanssa yhdensuuntaista suoraa

ja elliptinen paralleeliaksiooma

yhdensuuntaisia suoria ei ole.[2]

Geometrioita, joissa oletetaan jokin muu kuin euklidinen paralleeliominaisuus, kutsutaan epäeuklidisiksi geometrioiksi. Euklidista geometriaa on perinteinen euklidisen paralleeliaksiooman olettava geometria.

Jaottelu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geometria voidaan jakaa esimerkiksi seuraavasti tutkittujen kohteiden ja käytettyjen menetelmien perusteella:

Trigonometriasta on apua monien geometristen ongelmien numeeriseen ratkaisemiseen.

Käsitteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geometrian peruskäsitteitä ovat muun muassa piste, suora, taso, avaruus, ympyrä, ellipsi, kolmio, neliö, pallo, lieriö, kartio, säännöllinen monitahokas, käyrä, pinta, kappale, kulma, pituus, pinta-ala ja tilavuus.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, osa II. Art House, 2000. ISBN 951-884-158-6.
  2. Greenberg, Marvin Jay: Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Third Edition. W.H. Freeman and Company, 1993. ISBN 0-7167-2446-4.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Geometria.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.