Euklidinen avaruus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Euklidinen avaruus on n-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, jolle pätevät euklidisen geometrian aksioomat.[1] Euklidista avaruutta voidaan merkitä \scriptstyle\mathbb{R}^n tai \scriptstyle\mathbb{E}^n, missä \scriptstyle(n \in \mathbb{N}).

Tunnetuin euklidinen avaruus on \scriptstyle\mathbb{R}^1 eli reaaliluvut. Lisäksi matematiikassa tulevat usein vastaan euklidinen taso \scriptstyle(\mathbb{R}^2) ja kolmiulotteinen avaruus \scriptstyle(\mathbb{R}^3).

Nykyisen käsityksen mukaan maailmankaikkeus ei ole euklidinen avaruus, sillä suhteellisuusteorian mukaisesti avaruuden rakenne taipuu suurten massojen vaikutuksesta. Suhteellisen pienillä nopeuksilla tilannetta voi hyvin kuvata euklidisen avaruuden rakenteilla.

Määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Euklidinen avaruus määritellään topologisesti tuloavaruutena, eli \scriptstyle\mathbb{R}:n karteesisena tulona itsensä kanssa n kertaa. Tätä voidaan merkitä lyhyesti

\prod_{i=1}^n A_i, jossa A_i=\mathbb{R}.

Tuloavaruuden pisteet ovat järjestettyjä n-jonoja, eli niissä on n kappaletta alkioita. Esimerkiksi

x=(x_1,x_2, \ldots, x_n).

Sen voi määritellä myös lineaarialgebran tapaan vektoriavaruutena, jolloin avaruuden kannan muodostavat n kappaletta kohtisuorasti toisiaan vastaan olevaa yksikkövektoria:

\mathbf{e}_1=(1,0,0,\ldots,0),
\mathbf{e}_2=(0,1,0,\ldots,0),
\vdots
\mathbf{e}_n=(0,0,0,\ldots,1).

\scriptstyle\mathbb{R}^n:n mielivaltainen vektori merkitään

\bar x=(x_1,x_2,...,x_n), (x_i \in \mathbb{R}),

missä \scriptstyle x_i:t ovat vektorin koordinaatit. Vektori voidaan esittää myös yksikkövektoreiden avulla summana:

\sum_{i=1}^n \mathbf{e}_ix_i.

Lukua 0 vastaa nollavektori

\bar 0=\underbrace{(0,0,\ldots,0)}_{n\ kpl}.

Kahden \mathbb {R}^n: vektorin summa on määritelty laskemalla vektorit koordinaateittain yhteen:

\bar x+\bar y=\sum_{i=1}^n(x_i+y_i).

Vakiolla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaateista kerrotaan erikseen:

a\bar x=\sum_{i=1}^n(ax_i).

Laskusääntöjä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vektorin pituuden ja vektoreiden välisen kulman laskemiseksi tarvitsee määritellä pistetulo. \scriptstyle\mathbb{R}^n:n vektoreille \bar x ja \bar y se on

\bar x \cdot \bar y=\sum_{i=1}^n(x_iy_i).

Vektorin pituus eli euklidinen normi on neliöjuuri sen sisätulosta itsensä kanssa:

\|\bar x\|=\sqrt {\sum_{i=1}^n(x_i)^2}.

Euklidinen metriikka määrittää kahden pisteen etäisyyden euklidisessa avaruudessa. Sitä kutsutaan myös etäisyysfunktioksi, ja se on oikeastaan yksi pythagoraan lauseen muoto. Pisteille x ja y se on

d(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}

Kulma vektoreiden \bar x ja \bar y välillä lasketaan pistetulon ja normin avulla:

\theta= \cos^{-1} \left ( \dfrac{\bar x \cdot \bar y}{\|x\|\|y\|} \right ) .

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Väisälä, Jussi: Topologia I. Helsinki: Limes ry, 2007.
  • Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004.
  • Mendelson: Introduction to Topology. .
  1. Kiyosi Ito: Encyclopedic Dictionary of Mathematics, s. 554. MIT Press, 1996. ISBN 9780262590204. (englanniksi)