Suorakulmio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Suorakulmio, johon on merkitty lävistäjät.
Osa artikkelisarjaa
Geometria
POV-Ray-Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Suorakulmio eli suorakaide on geometriassa yksinkertainen nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat määritelmän mukaan suoria eli 90°. Tästä seuraa, että nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset. Neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat samanpituisia. Neliötä kutsutaan myös säännölliseksi tai tasasivuiseksi suorakulmioksi. Kaikki suorakulmiot ovat suunnikkaita. Lähin vastine suorakulmiolle avaruusgeometriassa on suora suuntaissärmiö.[1][2] Suorakulmio merkitään \Box ABCD.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sivut, lävistäjät, bimediaanit ja korkeusjanat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suorakulmiolla on monia suunnikkaille yhteisiä ominaisuuksia. Niitä ovat esimerkiksi samanpituiset ja yhdensuuntaiset sivut, jotka ovat suorakulmion vastakkaisilla puolilla siten, että a = c ja b = d. Sen sijaan suorakulmion lävistäjät ovat yhtä pitkät (q = r), vaikka suunnikkailla ne ovat pääsääntöisesti eripituiset.[3][4]

Suorakulmion lävistäjät ovat yhtä pitkät ja ne puolittavat toisensa leikkauspisteessä E. Samassa pisteessä leikkaavat toisensa suorassa kulmassa bimediaanit, jotka ovat vastakkaisten sivujen keskipisteitä yhdistävät janat. Koska bimediaanit ovat yhdensuuntaisia vierekkäisten sivujen kanssa, puolittavat ne suorakulmion kahdeksi pienemmäksi suorakulmioksi. Bimediaanit ovat myös suorakulmion symmetria-akselit.[3][5]

Symmetriapiste, keskipiste ja ympäri piirretty ympyrä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sekä lävistäjien että bimediaanien päätepisteet sijaitsevat symmetrisesti pisteen E suhteen. Itse asiassa, kaikki suorat, jotka kulkevat pisteen E kautta, leikkautuvat piirillä p janoiksi, joiden keskipiste E on. Pistettä E kutsutaan siksi keskipisteeksi ja symmetrian takia symmetriapisteeksi.[6]

Symmetrian vuoksi on aina mahdollista piirtää suorakulmion ympäri ympyrä siten, että suorakulmion kärjet ovat ympyrän kehällä. Suorakulmion lävistäjät ovat silloin ympyrän halkaisijat ja ympyrän säde on halkaisijan puolikas.[5]

Kulmat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suorakulmion sisäkulmien summa on 360°, ja koska ne kaikki ovat yhtäsuuria, ovat ne kaikki 90°. Myös suorakulmion ulkokulmat ovat 90° (esimerkiksi θ).[7][4]

Lävistäjät leikkaavat toisensa symmetriapisteessä E ja kulman ε ja λ suuruus riippuu sivujen pituuksista. Kulmilla ε ja λ on E:ssä ristikulmat ja kulmat ε ja λ ovat vieruskulmia eli ε + λ = 180°. Lävistäjän ja sivun väliin jää osa sisäkulmasta ja se on yhtäsuuri kuin kulma ε = 2α ja λ = 2γ.

Mittoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

p= a + b + c + d = a + b + a + b = 2(a+b)
h_a=b=\frac{A}{a} ja h_b=a=\frac{A}{b}
q=r=\sqrt{a^2+b^2} [8]
R= \tfrac{1}{2}q (ympäri piirretyn ympyrän säde R [8])

Pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Surakulmio, jonka sivut ovat 4 ja 5 ruutua pitkät. Sen pinta-ala on 4•5 = 20 ruutua.

Suorakulmion pinta-alan A laskutapa voidaan päätellä esimerkiksi neliöillä. Suorakulmion kanta on a = 5 pituusyksikköä ja korkeus ha = 4 yksikköä, sen pinta-ala on suuruudeltaan 5•4 = 20 neliöyksikköä. Tämä lasketaan yleisesti

 A=ah_a = ab tai  A=bh_b = ba.[9][10][8]
Ala voidaan lausua myös lävistäjien ja niiden välisellä kulmalla
A= \tfrac{1}{2}q^2 \sin \epsilon.

Erityispiirteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Konveksi nelikulmio on suorakulmio, jos ja vain jos,

  • se on tasakulmainen monikulmio.
  • se on suunnikas vähintään yhdellä suoralla kulmalla.[5]
  • se on suunnikas tasapitkillä lävistäjillä.
  • sen pinta-ala voidaan laskea A=\tfrac{1}{2}\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2)}. [5]
  • sen pinta-ala voidaan laskea A=\frac{a+c}{2} \cdot \frac{b+d}{2}. (muinainen egyptiläinen approksimaatio)[5]

Erityisiä suorakulmioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliö

Neliö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliö on säännöllinen suorakulmio, jonka sivut ja kulmat ovat kaikki yhtä suuria. Sillä on suunnikkaana kaikki suorakulmion ja neljäkkään ominaisuudet. [4]

Kultainen suorakulmio

Kultainen suorakulmio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kultainen suorakulmio on sivuiltaan sellainen, että jos siitä erottaa neliön, jäljelle jäävä osa on alkuperäisen suorakulmion muotoinen. Sivujen pituuksien suhde muodostaa kultaisen leikkauksen.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2008. ISBN 978-951-26-5927-2.
  • Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi, 2005. ISBN 978-951-26-5059-0.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 3, 2005, s.44-52
  2. Weisstein, Eric W.: Parallelogram (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s.68-71
  4. a b c Alatupa, Sami et al.:Pitkä Sigma 3, 2008, s.21-22
  5. a b c d e Josefsson, Martin: Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles. Forum Geometricorum, 2013, nro 13, s. 17–21. Florida Atlantic University: ISSN 1534-1178. Artikkelin verkkoversio (pdf). (englanniksi)
  6. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s.30
  7. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s.22
  8. a b c Weisstein, Eric W.: Rectangle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Väisälä, Kalle: Geometria, 1959, s.41-45
  10. Alatupa, Sami et al.:Pitkä Sigma 3, 2008, s.67-73