Monikulmio

Eräitä monikulmoita

Monikulmio eli polygoni on geometriassa tasokuvio, joka koostuu äärellisestä määrästä janoja siten, että jokaisen janan kumpikin päätepiste on jonkin toisen janan päätepiste. Näitä janoja kutsutaan monikulmion sivuiksi. Sivut eivät saa leikata toisiaan.

Monikulmiota, jossa on n kulmaa, kutsutaan n-kulmioksi, esimerkiksi nelikulmio, viisikulmio ja kuusikulmio. Kolmikulmaisesta monikulmioista käytetään kuitenkin termiä kolmio.

Termejä

Monikulmio, joka on sekä neljäkäs että suunnikas

Suorakulmio

Monikulmion sanotaan olevan säännöllinen, mikäli monikulmion jokainen sivu on yhtä pitkä ja jokainen kulma on yhtä suuri. Muutamilla säännöllisillä monikulmioilla on erityisnimiä: säännöllinen kolmikulmio on tasasivuinen kolmio ja säännöllinen nelikulmio neliö. Toisinaan käytetään säännöllisestä kuusikulmiosta termiä kuusio.

Nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, on suunnikas. Jos siinä lisäksi kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, se on neljäkäs, ja jos sen kulmat ovat suoria, kuvio on suorakulmio. Säännöllinen nelikulmio eli neliö on sekä neljäkäs että suorakulmio.

Monikulmion sanotaan olevan jännemonikulmio, jos monikulmion ympäri voidaan piirtää ympyrä. Tämä tarkoittaa sitä, että monikulmion jokainen kärkipiste on ympyrän kehällä. Nimitys jännenelikulmio tulee siitä, että tällöin monikulmion sivut ovat ympyrän jänteitä. Esimerkiksi säännölliset monikulmiot ja kaikki kolmiot ovat jännemonikulmioita.

Monikulmion sanotaan olevan kupera eli konveksi, jos sen kaikki kulmat ovat pienempiä kuin $180^\circ$.

Monikulmioiden ominaisuuksia

n-kulmion kulmien summa on $(n-2)\cdot 180^\circ$.

Konveksissa eli kuperassa n-kulmiossa on $\frac{n^2-3n}{2}\,$ lävistäjää.

Nelikulmio on jännenelikulmio, jos ja vain jos nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180 astetta.

Monikulmioista, joiden kulmien lukumäärä ja piirin pituus on annettu, pinta-alaltaan suurin on säännöllinen.

Monikulmioista, joiden sivujen pituudet ja kulmien lukumäärä on annettu, pinta-alaltaan suurin on jännemonikulmio.

Olkoot monikulmion sivujen pituudet $a_1\leq a_2\leq \ldots \leq a_n$. Tällöin $a_n<a_1+a_2+\ldots +a_{n-1}$.

Monikulmion pinta-ala

Tarkastellaan mielivaltaista xy-tason n-kulmiota. Olkoot $(x_i,y_i)$, missä $i=1,2,...,n$ sen kulmapisteiden koordinaatit vastapäivään (vast. myötäpäivään) kierrettäessä. Otetaan käyttöön z-ulottuvuus ja vektorimerkinnät asettamalla $\vec{r}_i=(x_i,y_i,0)$ kaikilla $i=1,2,...,n$. Monikulmion pinta-ala $A$ saadaan tällöin ristitulon avulla kaavasta:

$A = \frac{1}{2} ( |\vec{r}_1\times \vec{r}_2|+|\vec{r}_2\times \vec{r}_3|+|\vec{r}_3\times \vec{r}_4|+...+|\vec{r}_{n-1}\times \vec{r}_n|+|\vec{r}_n\times \vec{r}_1| )$

Huom. Kaava soveltuu helpon ohjelmoitavuuden ansiosta erinomaisen hyvin tietokonelaskentaan, sekä numeeriseen että symboliseen.

Katso myös

• Monikulmioluku