Monikulmio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Osa artikkelisarjaa
Geometria
Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Eräitä monikulmoita

Monikulmio eli polygoni on geometriassa tasokuvio, jonka reuna on suljettu murtoviiva. Tämä tarkoittaa sitä, että seuraamalla murtoviivaa jana kerrallaan kärjestä toiseen päätyy lopulta takaisin lähtöpisteeseen. Monikulmion määritelmä vaihtelee hieman kirjallisuudessa. Eräät määritelmät rajaavat itseään leikkaavat murtoviivat pois, jolloin monikulmion sisäosat ovat yhtenäiset. Toiset määritelmät hyväksyvät itsensä leikkaamisen, jolloin monikulmio voisi olla myös tähti. Tällöin sisäosan määritelmä on mutkikkaampi. Eräät määritelmät tuntevat täytetyn monikulmion, jolloin sisäosan pisteet ovat osa monikulmiota.[1][2][3]

Murtoviivan janoja kutsutaan monikulmion sivuiksi, jotka muodostavat yhdessä monikulmion piirin. Murtoviivan sisään sulkemaa aluetta kutsutaan monikulmion sisäpuoleksi, jonka kokoa voidaan ilmaista pinta-alana. Sivujen liittymispisteet ovat kärkiä ja janojen väliset asennot ilmaistaan kulmina, jotka aukeavat monikulmion sisäpuolelle. Nimityksen mukaisesti monikulmiossa on monta kulmaa. Jos kulmiossa on 5 kulmaa kutsutaan sitä viisikulmioksi. Yleistäen voidaan matemaattisessa tekstissä käyttää termiä n-kulmio, jos siinä on n kappaletta kulmia. Silloin sillä on myös n kärkeä ja n sivua.[4][5][3]

Nimityksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luokittelu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksinkertainen luokittelutapa on luokitella monikulmiot kulmien lukumäärän mukaisesti. Monikulmiota, jossa on n kulmaa, kutsutaan n-kulmioksi. Tällaisia ovat esimerkiksi [5]

Monikulmioita on monentyyppisiä ja ne luokitellaan monilla muillakin eri tavoin. Seuraavassa on joitakin luokittelutapoja. Yksittäinen monikulmio saattaa kuulua useaan luokkaan samanaikaisesti.

Muu luokitteluperuste:

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisimmin tarvittavat monikulmiot ovat kolmioita ja nelikulmioita. Kolmiot ovat kaikki yksinkertaisia-, konvekseja- ja syklisiä monikulmioita, mutta riippuen niiden muodosta, ne voivat kuulua eri luokkiin. Tasasivuinen kolmio on samaan aikaan sekä monotoninen-, säännöllinen-, tasakulmainen-, tangentiaalinen- että bisentrinen kolmio. Suorakulmainen kolmio sen sijaan on vain monotoninen-, tangentiaalinen- ja bisentrinen kolmio. Yleensä kolmio on vain monotoninen kolmio. Nelikulmioiden variaatioita on paljon enemmän kuin kolmioiden.

Monikulmioiden ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kulmat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleisessä monikulmiossa on n kappaletta kärkiä (ja kulmia) ja niiden välissä n sivua. Sisäkulmaksi kutsutaan sellaista kulmaa, joka aukeaa monikulmion sisäpuolelle. Monikulmion ulkopuolelle jäävä kulma on sisäkulman eksplementtikulma. Sisäkulmien suuruudet voivat vaihdella suuresti, mutta yksinkertaisen monikulmion kulmien yhteenlaskettu summa on

\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = (n-2)\cdot 180^\circ.[5][3]

Ulkokulma jää kolmion sivun ja viereisen sivun jatkeen väliin. Ulkokulma voidaan piirtää kahdella tavalla, mutta ristikulmina ne ovat aina yhtä suuret. Ulkokulma vaihtelee suuresti, mutta konveksin monikulmion samansuuntaisten ulkokulmien summa on aina sama eli 360°.[13] Jos monikulmio on konkaavi, käytetään suunnattuja kulmia, jolloin kulman kiertosuunta määrää sen merkin. Silloin samaan suuntaan otettujen ulkokulmien summa on 360°.[14]

Lävistäjät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monikulmion lävistäjien lukumäärä voidaan laskea ajattelemalla aluksi kärkipisteiden lukumäärää. Nämä voidaan yhdistää janoilla \tbinom{n}{2} eri tavalla. Monikulmion sivut eivät ole lävistäjiä, joten ne vähennetään pois

\binom{n}{2}-n = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{n^2-3n}{2}\,

Kaikki lävistäjät eivät aina kulje monikulmion sisäosassa, mutta jos näin on, kutsutaan sitä konveksiksi monikulmioksi.[1]

Pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monikulmio koordinaatistossa.

Yleisen n-kulmaisen konveksin monikulmion pinta-ala voidaan laskea jakamalla se n - 3:lla lävistäjällä n - 2:een kolmioon, joiden pinta-alojen summa on monikulmion ala.[15] Jos yksinkertainen monikulmio on suorakulmaisessa koordinaatistossa ja kärkien Ki koordinaatit ovat (x_i,y_i), saadaan pinta-alaksi

A = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i).

Summalausekkeen viimeinen piste on samalla ensimmäinen piste eli (x_1,y_1) = (x_n,y_n). [1][16]

Sama voidaan ilmaista vektoreilla. Jos ilmaistaan pinta-ala käyttöön z-koordinaatilla ja merkitään \vec{r}_i=(x_i,y_i,0), voidaan monikulmion pinta-ala A laskea ristitulon avulla

A = \frac{1}{2} ( |\vec{r}_1\times \vec{r}_2|+|\vec{r}_2\times \vec{r}_3|+|\vec{r}_3\times \vec{r}_4|+...+|\vec{r}_{n-1}\times \vec{r}_n|+|\vec{r}_n\times \vec{r}_1| )

Tällaisia laskentakaavoja suositaan esimerkiksi tietokonelaskennassa niiden helpon ohjelmoitavuuden ansiosta.

Painopiste[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monikulmion painopiste lasketaan kolmiojaotteluun perustuvalla osien painopisteiden yhteisvaikutukseen geometrisenä painopisteenä. Painopistettä voidaan merkitä keskiarvon merkinnällä:

\overline{x} = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)\,
\overline{y} = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)\, . [16]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähde[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c Etälukio: Geometria - Monikulmio
  2. Internetix: MAB2: Monikulmiot
  3. a b c Weisstein, Eric W.: Polygon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, s.8
  5. a b c d e Väisälä, Kalle: Geometria, s.22-25
  6. Niinimäki, Teppo: Yksinkertaisen monikulmion kolmiointialgoritmit (tutkielma), 2008, s.1
  7. Weisstein, Eric W.: Simple Polygon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita, s.8
  9. Weisstein, Eric W.: Convex Polygon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Weisstein, Eric W.: Regular Polygon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  11. Weisstein, Eric W.: Cyclic Polygon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  12. Weisstein, Eric W.: Concave Polygon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  13. Weisstein, Eric W.: Exterior Angle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  14. Royster: Angles and Polygons
  15. Väisälä, Kalle: Geometria, s.41-48
  16. a b Bourke, Paul: Calculating The Area And Centroid Of A Polygon (moniste) (englanniksi)