Monikulmioluku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Monikulmioluku on mikä tahansa luonnollinen luku, jota vastaava määrä pisteitä voidaan asetella tasavälein pinnalle niin, että ne muodostavat säännöllisen monikulmion [1]. Monikulmioluvut ovat eräs kuviolukujen ryhmä: niissä pisteitä asetellaan tasolle.

Johdanto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkiksi luku 10 on kolmioluku, sillä 10 kiveä voidaan asettaa tasasivuiseksi kolmioksi.

*
**
***
****

Sama luku 10 ei voi olla neliöluku, mutta luku 9 sitä vastoin voi olla.

***
***
***

Joskus sama luku voi olla sekä kolmio- että neliöluku. Pienin tällainen luku on 36.

******
******
******
******
******
******
*
**
***
****
*****
******
*******
********

Muita monikulmiolukuja ovat muun muassa kolmioluvut, neliöluvut, viisikulmioluvut ja kuusikulmioluvut.

Säännönmukaisia piirteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäinen n-monikulmioluku on aina 1 ja seuraava n. [2]

Lausekkeita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lauseke P(s,n) antaa monikulmioluvun arvon, kun s on munikulmion sivujen lukumäärä ja n lukujonon jäsenen indeksi:

P(s,n) = {\left(\frac{s}{2}-1\right)n^2-\left(\frac{s}{2}-2\right)n}=\frac{(s-2)n^2-(s-4)n}{2}\, . [3][4]

Seuraava lauseke lausuu n:nnen monikulmioluvun kolmiolukujen avulla:

P(s,n) = (s-2)T_{n-1} + n = (s-3)T_{n-1} + T_n\, . [3]

Monikulmiolukujonon kahden peräkkäisen luvun erotuksen lauseke on

P(s,n+1)-P(s,n) = (s-2)n + 1\, .

Kahden monikulmioluvun, joiden sivujen lukumäärä eroaa vain yhdellä, saman jäsenen n arvot eroavat kolmioluvun verran:

P(s+1,n) - P(s,n) = T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}\, .

Jos tiedetään monikulmioluvun x sivujen lukumäärän s, voidaan laskea sen indeksi n lausekkeesta

n = \frac{\sqrt{(8s-16)x+(s-4)^2}+s-4}{2s-4}. [3]

Lukuarvoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alle on koottu ensimmäisten monikulmiolukujen tietoja. Sarakkeessa "Jonon jäsenten lauseke" annetaan sijoitetussa muodossa lauseke, jolla voidaan laskea monikulmioluvun indeksillä n annetun jäsenen arvo. Sen perässä on luettelo kymmenestä ensimmäisestä monikulmioluvusta. Joistakin monikulmioluvuista tunnetaan niiden käänteislukujen sarjan arvo. Gottfried Wilhelm Leibniz ratkaisi ensimmäisenä kolmiolukujen sarjan arvon [5]. Viimeisessä sarakkeessa on linkki kokonaislukujen jonojen sivustolle (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

s Nimi Jonon   jäsenen lauseke n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Käänteislukujen summa [4] OEIS numero
3 Kolmioluku ½(1n² + 1n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 {2} A000217
4 Neliöluku ½(2n² - 0n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 {\pi^2\over6} [A000290]
5 Viisikulmioluku ½(3n² - 1n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 { 3\ln\left(3\right)}-{\pi\sqrt{3}\over3 } [A000326]
6 Kuusikulmioluku ½(4n² - 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 { 2\ln\left(2\right) } [A000384]
7 Seitsenkulmioluku ½(5n² - 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 \begin{matrix}
\frac{1}{15}{\pi}{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}+\frac{2}{3}\ln(5) \\ 
+\frac{{1}+\sqrt{5}}{3}\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right) \\ 
+\frac{{1}-\sqrt{5}}{3}\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)
\end{matrix} [A000566]
8 Kahdeksankulmioluku ½(6n² - 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 { {3\ln\left(3\right)\over4} + {\pi\sqrt{3}\over12} } [A000567]
9 Yhdeksänkulmioluku ½(7n² - 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 [A001106]
10 Kymmenkulmioluku ½(8n² - 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 { {\ln\left(2\right)} + {\pi\over6} } [A001107]
11 Yksitoistakulmioluku ½(9n² - 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 [A051682]
12 Kaksitoistakulmioluku ½(10n² - 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 [A051624]
13 Kolmetoistakulmioluku ½(11n² - 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 [A051865]
14 Neljätoistakulmioluku ½(12n² - 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 { {2\ln\left(2\right)\over5} + {3\ln\left(3\right)\over 10} + {\pi\sqrt{3}\over10} } [A051866]
15 Viisitoistakulmioluku ½(13n² - 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 [A051867]
16 Kuusitoistakulmioluku ½(14n² - 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 [A051868]
17 Seitsemäntoistakulmioluku ½(15n² - 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 [A051869]
18 Kahdeksantoistakulmioluku ½(16n² - 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 [A051870]
19 Yhdeksäntoistakulmioluku ½(17n² - 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 [A051871]
20 Kaksikymmentäkulmioluku ½(18n² - 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 [A051872]
21 Kaksikymmentäyksikulmioluku ½(19n² - 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 [A051873]
22 Kaksikymmentäkaksikulmioluku ½(20n² - 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 [A051874]
23 Kaksikymmentäkolmekulmioluku ½(21n² - 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 [A051875]
24 Kaksikymmentäneljäkulmioluku ½(22n² - 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 [A051876]

Yhteisiä lukuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jotkin monikulmioluvut, kuten yllä oleva esimerkki 36, joka kuuluu kolmio- ja neliölukuihin, kuuluvat kahteen ryhmään saman aikaisesti. Pellin yhtälöllä on mahdollista selvittää kahden ryhmän yhteiset luvut.

Seuraavassa taulukossa on luetteloitu joidenkin monikulmiolukujen yhteiset luvut. Luku s \text{ ja } t esittävät lukujen kulmien määrää. Joissakin tapauksissa ainoa yhteinen jäsen on ensimmäinen luku 1. Näin on esimerkiksi, kun s=10 \text{ ja } t=4.

s t Jono OEIS numero
4 3 1, 36, 1225, 41616, … A001110
5 3 1, 210, 40755, 7906276, … A014979
5 4 1, 9801, 94109401, … A036353
6 3 All hexagonal numbers are also triangular. A000384
6 4 1, 1225, 1413721, 1631432881, … A046177
6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180
7 3 1, 55, 121771, 5720653, … A046194
7 4 1, 81, 5929, 2307361, … A036354
7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … A048900
7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903
8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183
8 4 1, 225, 43681, 8473921, … A036428
8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … A046189
8 6 1, 11781, 113123361, … A046192
8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, … A036411
9 5 1, 651, 180868051, … A048915
9 6 1, 325, 5330229625, … A048918
9 7 1, 26884, 542041975, … A048921
9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Muun muassa pythagoralaiset noin 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen T_4 kolmiorakennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua. [6]

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmät avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla hän perusti lukuteorian. Hän ehdotti haasteena muille, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintaan k:lla k-kulmioluvulla (Fermat'n monikulmiolause). Hän myös väitti todistaneensa väitteensä, mutta todistusta ei ole löydetty hänen paperiensa joukosta. Carl Gustav Jakob Jacobi ja Joseph Louis Lagrange (Lagrangen neljän neliön lause, vuonna 1772) sekä Leonhard Euler ovat todistaneet sen neliölukujen tapauksessa ja Carl Friedrich Gauss kolmiolukujen tapauksessa vuonna 1796. Vasta Augustin-Louis Cauchy todisti sen yleisessä tapauksessa vuonna 1813. [7][3][8]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.
  • Lehtinen, Matti: Matematiikan historia (pdf) (Oulun Yliopiston luento) 2011. Oulu: Oulun Yliopisto.
  1. Weisstein, Eric W.: Figurate Number (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Lehtinen, Matti: Matematiikan historia, s.19
  3. a b c d Weisstein, Eric W.: Polygonal Number (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers
  5. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 562 - 566
  6. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 93 - 95
  7. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 498 - 501
  8. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 726