Monikulmioluku

Monikulmioluku on mikä tahansa luonnollinen luku, jota vastaava määrä pisteitä voidaan asetella tasavälein pinnalle niin, että ne muodostavat säännöllisen monikulmion . Monikulmioluvut ovat eräs kuviolukujen ryhmä: niissä pisteitä asetellaan tasolle.

Johdanto

Esimerkiksi luku 10 on kolmioluku, sillä 10 kiveä voidaan asettaa tasasivuiseksi kolmioksi.

Sama luku 10 ei voi olla neliöluku, mutta luku 9 sitä vastoin voi olla.

Joskus sama luku voi olla sekä kolmio- että neliöluku. Pienin tällainen luku on 36.

Muita monikulmiolukuja ovat muun muassa kolmioluvut, neliöluvut, viisikulmioluvut ja kuusikulmioluvut.

Säännönmukaisia piirteitä

Ensimmäinen n-monikulmioluku on aina 1 ja seuraava n.

Lausekkeita

Lauseke $P(s,n)$ antaa monikulmioluvun arvon, kun $s$ on munikulmion sivujen lukumäärä ja $n$ lukujonon jäsenen indeksi:

$P(s,n) = {\left(\frac{s}{2}-1\right)n^2-\left(\frac{s}{2}-2\right)n}=\frac{(s-2)n^2-(s-4)n}{2}\, .$

Seuraava lauseke lausuu $n$:nnen monikulmioluvun kolmiolukujen avulla:

$P(s,n) = (s-2)T_{n-1} + n = (s-3)T_{n-1} + T_n\, .$

Monikulmiolukujonon kahden peräkkäisen luvun erotuksen lauseke on

$P(s,n+1)-P(s,n) = (s-2)n + 1\, .$

Kahden monikulmioluvun, joiden sivujen lukumäärä eroaa vain yhdellä, saman jäsenen $n$ arvot eroavat kolmioluvun verran:

$P(s+1,n) - P(s,n) = T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}\, .$

Jos tiedetään monikulmioluvun $x$ sivujen lukumäärän $s$, voidaan laskea sen indeksi $n$ lausekkeesta

$n = \frac{\sqrt{(8s-16)x+(s-4)^2}+s-4}{2s-4}.$

Lukuarvoja

Alle on koottu ensimmäisten monikulmiolukujen tietoja. Sarakkeessa "Jonon jäsenten lauseke" annetaan sijoitetussa muodossa lauseke, jolla voidaan laskea monikulmioluvun indeksillä $n$ annetun jäsenen arvo. Sen perässä on luettelo kymmenestä ensimmäisestä monikulmioluvusta. Joistakin monikulmioluvuista tunnetaan niiden käänteislukujen sarjan arvo. Gottfried Wilhelm Leibniz ratkaisi ensimmäisenä kolmiolukujen sarjan arvon . Viimeisessä sarakkeessa on linkki kokonaislukujen jonojen sivustolle (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

s	Nimi	Jonon   jäsenen lauseke	n=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Käänteislukujen summa	OEIS numero
3	Kolmioluku	½(1n² + 1n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	${2}$	A000217
4	Neliöluku	½(2n² - 0n)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	${\pi^2\over6}$	[A000290]
5	Viisikulmioluku	½(3n² - 1n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	${ 3\ln\left(3\right)}-{\pi\sqrt{3}\over3 }$	[A000326]
6	Kuusikulmioluku	½(4n² - 2n)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	${ 2\ln\left(2\right) }$	[A000384]
7	Seitsenkulmioluku	½(5n² - 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	$\begin{matrix} \frac{1}{15}{\pi}{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}+\frac{2}{3}\ln(5) \\ +\frac{{1}+\sqrt{5}}{3}\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right) \\ +\frac{{1}-\sqrt{5}}{3}\ln\left(\frac{1}{2}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right) \end{matrix}$	[A000566]
8	Kahdeksankulmioluku	½(6n² - 4n)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	${ {3\ln\left(3\right)\over4} + {\pi\sqrt{3}\over12} }$	[A000567]
9	Yhdeksänkulmioluku	½(7n² - 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		[A001106]
10	Kymmenkulmioluku	½(8n² - 6n)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	${ {\ln\left(2\right)} + {\pi\over6} }$	[A001107]
11	Yksitoistakulmioluku	½(9n² - 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		[A051682]
12	Kaksitoistakulmioluku	½(10n² - 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		[A051624]
13	Kolmetoistakulmioluku	½(11n² - 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		[A051865]
14	Neljätoistakulmioluku	½(12n² - 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	${ {2\ln\left(2\right)\over5} + {3\ln\left(3\right)\over 10} + {\pi\sqrt{3}\over10} }$	[A051866]
15	Viisitoistakulmioluku	½(13n² - 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		[A051867]
16	Kuusitoistakulmioluku	½(14n² - 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		[A051868]
17	Seitsemäntoistakulmioluku	½(15n² - 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		[A051869]
18	Kahdeksantoistakulmioluku	½(16n² - 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730		[A051870]
19	Yhdeksäntoistakulmioluku	½(17n² - 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		[A051871]
20	Kaksikymmentäkulmioluku	½(18n² - 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		[A051872]
21	Kaksikymmentäyksikulmioluku	½(19n² - 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		[A051873]
22	Kaksikymmentäkaksikulmioluku	½(20n² - 18n)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		[A051874]
23	Kaksikymmentäkolmekulmioluku	½(21n² - 19n)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		[A051875]
24	Kaksikymmentäneljäkulmioluku	½(22n² - 20n)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		[A051876]

Yhteisiä lukuja

Jotkin monikulmioluvut, kuten yllä oleva esimerkki 36, joka kuuluu kolmio- ja neliölukuihin, kuuluvat kahteen ryhmään saman aikaisesti. Pellin yhtälöllä on mahdollista selvittää kahden ryhmän yhteiset luvut.

Seuraavassa taulukossa on luetteloitu joidenkin monikulmiolukujen yhteiset luvut. Luku $s \text{ ja } t$ esittävät lukujen kulmien määrää. Joissakin tapauksissa ainoa yhteinen jäsen on ensimmäinen luku 1. Näin on esimerkiksi, kun $s=10 \text{ ja } t=4$.

s	t	Jono	OEIS numero
4	3	1, 36, 1225, 41616, …	A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, …	A014979
5	4	1, 9801, 94109401, …	A036353
6	3	All hexagonal numbers are also triangular.	A000384
6	4	1, 1225, 1413721, 1631432881, …	A046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, …	A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, …	A036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	A048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, …	A036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	A046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	A046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, …	A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	A048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	A048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	A048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	A048924

Historiaa

Muun muassa pythagoralaiset noin 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen $T_4$ kolmiorakennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua.

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmät avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla hän perusti lukuteorian. Hän ehdotti haasteena muille, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintaan k:lla k-kulmioluvulla (Fermat'n monikulmiolause). Hän myös väitti todistaneensa väitteensä, mutta todistusta ei ole löydetty hänen paperiensa joukosta. Carl Gustav Jakob Jacobi ja Joseph Louis Lagrange (Lagrangen neljän neliön lause, vuonna 1772) sekä Leonhard Euler ovat todistaneet sen neliölukujen tapauksessa ja Carl Friedrich Gauss kolmiolukujen tapauksessa vuonna 1796. Vasta Augustin-Louis Cauchy todisti sen yleisessä tapauksessa vuonna 1813.

Katso myös

• Hobson, N.: "Triangular Numbers"
• Rajesh Ram: TRIANGLE Numbers that are Perfect Squares
• OEIS - kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Englannin Wikipedia: Pell's equation

Lähteet

• Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.
• Lehtinen, Matti: Matematiikan historia (pdf) (Oulun Yliopiston luento) 2011. Oulu: Oulun Yliopisto.

Kuvioluvut