Kolmioluku

Kuusi ensimmäistä kolmiolukua $T_{n}$

Kolmioluku on luonnollista lukua oleva määrä pisteitä, jotka pinnalle tasavälein aseteltuna muodostavat tasasivuisen kolmion. Kymmenen ensimmäistä kolmiolukua ovat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 ja 55.

Rekursiivisesti ilmaistuna kolmioluku $T_{n}$ on $T_{n-1}+n=T_{n}.$

Suurempia kolmiolukuja voidaan muodostaa pienemmistä lisäämällä niihin riittävästi pisteitä:

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa rekursiivisessa yhtälössä luku $n.$

Kolmioluvut ovat yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Formaalinen määritelmä

Kolmioluvut $T_{n}$ saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan $n$ peräkkäistä luonnollista lukua yhteen:

$T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}.$

Merkintä ${n+1 \choose 2}$ tarkoittaa binomikerrointa, jonka arvo on sama kuin $n+1$:sta alkiosta muodostettavien parien lukumäärä.

Yhteyksiä matematiikkaan

Tetraktys eli pyhä kolmioluku.

Kolmiolukuja esiintyy satunnaisesti jokaisella matematiikan alalla. Alla on kerrottu esimerkkejä eräistä kolmiolukujen ominaisuuksista.

Arjen erikoisuuksia

Keilat asetetaan kolmioluvun $T_{4}=10$ tapaan tetraktyksen muotoon. Biljardipallot kootaan kolmiokehykseen aloitusasemaan kolmioluvun $T_{5}=15$ tapaan.

Pedon luku on kolmioluku $T_{6\cdot 6}=T_{36}=$ 666. Se on suurin kolmioluku, jonka lukuesityksessä kaikki numerot ovat samat.

Kolmiolukujen ominaisuksia

(Kuvio 1) Kolmioluku saadaan yhdistämällä kolme samaa kolmiolukua ja lisäämällä siihen yhtä pienempi kolmioluku.

(Kuvio 2) Kolmioluku saadaan yhdistämällä kolme samaa kolmiolukua ja lisäämällä siihen yhtä suurempi kolmioluku.

Kolmioluvut ovat "sukua toisilleen", joten niillä on rekursiivisia suhteita. Seuraavia kolmiolukujen välisiä ominaisuuksia tunnetaan. Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotus on kuutioluku $C_{n}$.

$T_{n}^{2}-T_{n-1}^{2}=n^{3}=C_{n}$

Esimerkiksi, kun n = 3, saadaan $T_{3}^{2}-T_{2}^{2}=6^{2}-3^{2}=36-9=27=3^{3}=C_{3}.$

Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden summa on kulmioluku.

$T_{n}^{2}+T_{n-1}^{2}=T_{n^{2}}$

Kun esimerkiksi n = 3, saadaan $T_{3}^{2}+T_{2}^{2}=6^{2}+3^{2}=36+9=45=T_{9}=T_{3^{2}}.$

Seuraavat kolmiolukujen identiteetit on helppo ymmärtää oheisista piirroksista. Menetelmä on yksinkertainen ja antaa olettaa, että muitakin kolmiolukuja voidaan muodostaa yhdistelemällä eri suuruisia kolmioita suuremmiksi kolmioiksi.

$3T_{n}+T_{n-1}=T_{2n}$ (kuvio 1)

$3T_{n}+T_{n+1}=T_{2n+1}$ (kuvio 2)

Kun lasketaan yhteen peräkkäiset parittomat luvut, saadaan kahden peräkkäisen kolmioluvun summa.

$1+3+5+\dots +(2n-1)=T_{n}+T_{n-1}$

Summa on arvoltaan myös neliöluku, kuten jäljempänä todetaan.

Kytkentä muihin kuviolukuihin

Kolmioluvuilla on myös kytkentöjä muihin kuviolukuihin. Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku $N_{n}$:

$T_{n}+T_{n-1}={\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {(n-1)n}{2}}={\frac {n^{2}+n+n^{2}-n}{2}}=n^{2}=N_{n}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}$

Tämä voidaan havaita suoraan pistekuvioista, joista on alla kaksi esimerkkiä.

	$T_{3}+T_{4}=6+10=16=4^{2}=N_{4}$
	$T_{4}+T_{5}=10+15=25=5^{2}=N_{5}$

Neliölukuja voi muodostaa useammastakin kolmioluvusta.

$8T_{n}+1=N_{2n+1}=(2n+1)^{2},$ eli tässä kuvan mukaisessa tapauksessa $8T_{7}+1=225=15^{2}=(2\cdot 7+1)^{2}=N_{15}.$

Toinen vastaava esimerkki on

$T_{n-1}+6T_{n}+T_{n+1}=N_{2n+1}=(2n+1)^{2}.$

Jos lasketaan yhteen pariton määtä kolmiolukuja seuraavasti

$T_{1}-T_{2}+T_{3}-T_{4}+\dots +T_{2n-1}=N_{n}=n^{2}$

saadaan tulokseksi neliöluku.

Joka toinen kolmioluku on kuusikulmioluku $H_{n}$: $H_{n}=T_{2n-1}$

Jokainen viisikulmioluku $P_{n}$ on kolmasosa kolmioluvusta: $P_{n}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}$

Jos $S_{n}$ on seitsenkulmioluku, saadaan lausekkeen arvoksi $5S_{n}+1=T_{i}$, joka on kolmioluku $T_{i}$.

Peräkkäisten kuutiolukujen summa on kolmioluvun neliö:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dots +n^{3}=T_{n}^{2}={\frac {1}{4}}n^{2}(n+1)^{2}$

Peräkkäisten parittomien kuutiolukujen summa antaa kolmioluvun:

$1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+\dots +(2n-1)^{3}=T_{2n^{2}-1}=n^{2}(2n^{2}-1)$

Yhteyksiä muuhun matematiikkaan

Friedrich Gauss on todistanut oikeaksi Pierre de Fermat'n monikulmiolukujen teoreeman, jonka mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana.

Kaikki luvun $4T_{n}+1$ jakajat ovat muotoa $4k+1$ ja samoin on laita lukujen $6T_{n}+1$, jotka ovat kaikki muotoa $6k+1$. Muotoa $10T_{n}+1$ olevilla luvuilla on jakajina luvut $10k+1$ ja $10k-1$ eli niiden lukuesitys päättyy numeroon 1 tai 9.

Parilliset täydelliset luvut P ovat kolmiolukuja $T_{p}$, jossa p on alkuluku. Kaikki $P>6$ ovat muotoa $P=1+9T_{n}=T_{3n+1},$ missä $T_{n}$ on kolmiluku indeksillä, joka on muotoa $n=8i+1.$

Kombinatoriikassa $n$-henkisen ryhmän parinmuodostus voidaan tehdä ${n \choose 2}$ monella tavalla. Lukumäärä on sama kuin kolmioluku $T_{n-1}.$

Kolmiolukuja $T_{n}=1+2+3+4+\dots +n$ voidaan pitää additiivisena vastineena lukujen kertomalle, jossa on vastaavasti $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots \cdot n.$

Kolmioluvut ilmaantuvat seuraavaan määrättyyn integraaliin:

$\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}|x-y|^{n}\,dx\,dy={\frac {1}{T_{n+1}}}={\frac {2}{(n+1)(n+2)}}.$

Historiaa

Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen $T_{4}$ kolmioranennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua.

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmänsä avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla tuli perustettua lukuteoria.

Gottfried Wilhelm Leibniz laski kolmiolukujen käänteislukujen sarjan arvon. Kun summassa oli n termiä, tuli summaksi $2(1-{\frac {1}{n+1}})$ ja kun termejä oli äärettömästi tuli sarjan arvoksi 2.

Friedrich Gauss todisti vuonna 1796, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun avulla. Augustin-Louis Cauchy todisti saman yleisellä tasolla, jolloin jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana.

Katso myös

• Metcalfen laki
• OEIS – kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Lähteet

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6

Aiheesta muualla

• Hobson, N.: "Triangular Numbers" (Arkistoitu – Internet Archive)
• Rajesh Ram: TRIANGLE Numbers that are Perfect Squares (Arkistoitu – Internet Archive)

Kuvioluvut

Monikulmioluvut	kolmioluvut neliöluvut viisikulmioluvut kuusikulmioluvut seitsenkulmioluvut kahdeksankulmioluvut yhdeksänkulmioluvut kymmenkulmioluvut yksitoistakulmioluvut kaksitoistakulmioluvut
Muita tasokuviolukuja:	keskitetyt neliöluvut keskitetyt kuusikulmioluvut tähtiluvut
Pyramidiluvut	tetraedriluvut neliöpyramidiluvut viisikulmiopyramidiluvut kuusikulmiopyramidiluvut seitsenkulmiopyramidiluvut
Muut monitahokasluvut	kuutioluvut oktaedriluvut Haűyn oktaedriluvut
Monikulmiolukuja koskevia tuloksia	Fermat’n monikulmiolause Pollockin tetraedrilukuotaksuma Pollockin oktaedrilukuotaksuma Lagrangen neljän neliön lause