Kolmioluku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kuusi ensimmäistä kolmiolukua T_n

Kolmioluku on luonnollista lukua oleva määrä pisteitä, jotka pinnalle tasavälein aseteltuna muodostavat tasasivuisen kolmion. Kymmenen ensimmäistä kolmiolukua ovat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 ja 55. [1]

Suurempia kolmiolukuja voidaan muodostaa pienemmistä lisäämällä niihin riittävästi pisteitä: Polygonal Number 3.gif

Rekursiivisesti ilmaistuna kolmioluku T_n on [2]

T_{n-1}+n=T_n.

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa rekursiivisessa yhtälössä luku n.

Kolmioluvut ovat yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Formaalinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmioluvut T_n saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan n peräkkäistä luonnollista lukua yhteen:

T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}. [3]

Merkintä {n+1 \choose 2} tarkoittaa binomikerrointa, jonka arvo on sama kuin n+1:sta alkiosta muodostetavien parien lukumäärä.

Yhteyksiä matematiikkaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tetraktys eli pyhä kolmioluku.

Kolmiolukuja esiintyy satunnaisesti jokaisella matematiikan alalla. Alla on kerrottu esimerkkejä eräistä kolmiolukujen ominaisuuksista.

Arjen erikoisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keilat asetetaan kolmioluvun T_4 = 10 tapaan tetraktyksen muotoon. [4] Biljardipallot kootaan kolmiokehykseen aloitusasemaan kolmioluvun T_5 = 15 tapaan.

Pedon luku on kolmioluku T_{6\cdot6}=T_{36}= 666. Se on suurin kolmioluku, jonka lukuesityksessä kaikki numerot ovat samat. [3]

Kolmiolukujen ominaisuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(Kuvio 1) Kolmioluku saadaan yhdistämällä kolme samaa kolmiolukua ja lisäämällä siihen yhtä pienempi kolmioluku.
(Kuvio 2) Kolmioluku saadaan yhdistämällä kolme samaa kolmiolukua ja lisäämällä siihen yhtä suurempi kolmioluku.

Kolmioluvut ovat "sukua toisilleen", joten niillä on rekursiivisia suhteita. Seuraavia kolmiolukujen välisiä identiteettejä tunnetaan. [3] Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotus on kuutioluku C_n.

T_n^2-T_{n-1}^2=n^3 = C_n

Esimerkiksi, kun n = 3, saadaan T_3^2-T_{2}^2=6^2-3^2=36-9=27=3^3 = C_3.

Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden summa on kulmioluku.

T_n^2+T_{n-1}^2=T_{n^2}

Kun esimerkiksi n = 3, saadaan T_3^2+T_{2}^2=6^2+3^2=36+9=45=T_9=T_{3^2}.

Seuraavat kolmiolukujen identiteetit on helppo ymmärtää oheisista piirroksista. Menetlmä on yksinkertainen ja antaa olettaa, että muitakin kolmiolukuja voidaan muodostaa yhdistelemällä eri suuruisia kolmioita suuremmiksi kolmioiksi.

3T_n+T_{n-1}=T_{2n} (kuvio 1)
3T_n+T_{n+1}=T_{2n+1} (kuvio 2)

Kun lasketaan yhteen peräkkäiset parittomat luvut, saadaan kahden peräkkäisen kolmioluvun summa.

1+3+5+ \dots +(2n-1)=T_n + T_{n-1}

Summa on arvoltaan myös neliöluku, kuten jäljempänä todetaan.

Kytkentä muihin kuviolukuihin[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmioluvuilla on myös kytkentöjä muihin kuviolukuihin. Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku N_n:

T_n+T_{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n-1)n}{2} =\frac{n^2+n+n^2-n}{2}=n^2=N_n = (T_n - T_{n-1})^2

Tämä voidaan havaita suoraan pistekuvioista, joista on alla kaksi esimerkkiä.

Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg T_3+T_4=6 + 10 = 16 = 4^2=N_4
Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg T_4+T_5=10 + 15 = 25=5^2=N_5

Neliölukuja voi muodostaa useammastakin kolmioluvusta.

Somme de huit nombres triangulaires.jpg 8T_n+1 = N_{2n+1} = (2n+1)^2,

eli tässä kuvan mukaisessa tapauksessa

8T_7+1 =225=15^2=(2\cdot7+1)^2= N_{15}. [3]

Toinen vastaava esimerkki on

T_{n-1} + 6T_n + T_{n+1}= N_{2n+1} = (2n+1)^2. [3]

Jos lasketaan yhteen pariton määtä kolmiolukuja seuraavasti

T_1-T_2+T_3-T_4+ \dots +T_{2n-1}=N_n=n^2

saadaan tulokseksi neliöluku. [3]

Joka toinen kolmioluku on kuusikulmioluku H_n: H_n = T_{2n-1} [3]

Jokainen viisikulmioluku P_n on kolmasosa kolmioluvusta: P_n = \frac{1}{3} T_{3n-1} [3]

Jos S_n on seitsenkulmioluku, saadaan lausekkeen arvoksi 5S_n + 1 = T_i, joka on kolmioluku T_i.

Peräkkäisten kuutiolukujen summa on kolmioluvun neliö:

1^3+2^3+3^3+ \dots +n^3=T_n^2=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 [3]

Peräkkäisten parittomien kuutiolukujen summa antaa kolmioluvun:

1^3+3^3+5^3+7^3+ \dots + (2n-1)^3=T_{2n^2-1}=n^2(2n^2-1) [3]

Yhteyksiä muuhun matematiikkaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Friedrich Gauss on todistanut oikeaksi Pierre de Fermat'n monikulmiolukujen teoreeman, jonka mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. [3]

Kaikki luvun 4T_n+1 jakajat ovat muotoa 4k+1 ja samoin on laita lukujen 6T_n+1, jotka ovat kaikki muotoa 6k+1. Muotoa 10T_n+1 olevilla luvuilla on jakajina luvut 10k+1 ja 10k-1 eli niiden lukuesitys päättyy numeroon 1 tai 9. [3]

Parilliset täydelliset luvut P ovat kolmiolukuja T_p, jossa p on alkuluku. Kaikki P > 6 ovat muotoa P=1+9T_n=T_{3n+1}, missä T_n on kolmiluku indeksillä, joka on muotoa n=8i+1. [3]

Kombinatoriikassa n-henkisen ryhmän parinmuodostus voidaan tehdä {n \choose 2} monella tavalla. Lukumäärä on sama kuin kolmioluku T_{n-1}. [3]

Kolmiolukuja T_n = 1+2+3+4+ \dots+n voidaan pitää additiivisena vastineena lukujen kertomalle, jossa on vastaavasti n! = 1 \cdot 2 \cdot 3\cdot 4 \dots \cdot n. [3]

Kolmioluvut ilmaantuvat seuraavaan määrättyyn integraaliin:

\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} |x-y|^n \,dx\,dy= \frac{1}{T_{n+1}}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}. [3]

Historiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen T_4 kolmioranennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua. [5]

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkujukuja. Hänen todistusmenetelmänsä avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla tuli perustettua lukuteoria. [6]

Gottfried Wilhelm Leibniz laski kolmiolukujen käänteislukujen sarjan arvon. Kun summassa oli n termiä, tuli summaksi 2(1-\frac{1}{n+1}) ja kun termejä oli äärettömästi tuli sarjan arvoksi 2.[7]

Friedrich Gauss todisti vuonna 1796, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun avulla. Augustin-Louis Cauchy todisti saman yleisellä tasolla, jolloin jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. [8]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.
  1. OEIS: Trangular number
  2. Weisstein, Eric W.: Polygonal Number (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b c d e f g h i j k l m n o p Weisstein, Eric W.: Triangular Number (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Tetractys (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 93 - 95
  6. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 498 - 501
  7. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 562 - 566
  8. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 726