Pentagrammi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Säännöllinen pentagrammi
Pentagram green.svg
Pentagrammi
Tyyppi Tähtimonikulmio
Sivuja ja kärkiä 5
symmetriaryhmä D5 (Luokka 10)
sisäkulma
(asteina)
36°
Pentagrammeja Stanislas de Guaitan vuonna 1897 ilmestyneestä kirjasta La Clef de la Magie Noire.

Pentagrammi (kreikan sanasta pentagrammon) eli viisikanta on viiden yhtä pitkän janan muodostama tähtimäinen kuvio, joka on vanha ja usein käytetty symboli.[1] Sana pentagrammi tulee kreikan sanasta πεντάγραμμον (pentagrammon), joka tarkoittaa viittä viivaa.

Pentagrammi oli monissa yhteyksissä käytetty symboli Antiikin Kreikassa ja Babyloniassa. Usein se on käsitetty taikamerkiksi, ja sen vuoksi se on nykyäänkin muun muassa wiccalaisten, eräiden uuspakanallisten lahkojen sekä myös vapaamuurarien paljon käyttämä symboli.[2] Kristinuskossa se taas on vanhastaan symboloinut Kristuksen viittä haavaa.[3][4]

Varhaishistoria[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sumerit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tiettävästi ensimmäisenä pentagrammi esiintyi sumereilla noin 3000 eaa. Sumerien kuvakirjoituksessa pentagrammi tarkoitti sanaa "UB", joka tarkoittaa kärkeä, kulmaa, pientä huonetta tai rakoa. René Labat'n laatimassa sumerilaisten piktogrammien luettelossa siinä on kaksi kärkeä ylöspäin.[5]

Babylonialaisille pentagrammin kärjet merkitsivät todennäköisesti eri suuntia: eteenpäin, taaksepäin, vasemmalle, oikealle ja ylös.[6][7] Näillä suunnilla oli merkitystä myös astrologiassa, ja ne vastasivat myös viittä tunnettua planeettaa: Jupiteria, Merkuriusta, Marsia ja Saturnusta sekä ylös osoittava sakara "taivaan kuningattarena" pidettyä Venusta (Ishtaria)[8][9]

Pythagoralaiset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pythagoralaiset käyttivät pentagrammista nimeä Hygieia (kreik. ὑγιεία), kreikkalaisen terveyden jumalattaren mukaan. He pitivät pentagrammia sen geometristen ominaisuuksien vuoksi matemaattisesti täydellisenä kuviona.

Pentagrammia käyttivät myös keskiaikaiset uuspythagoralaiset, joista tosin on kyseenalaista, voidaanko heitä lainkaan pitää pythagoralaisina. Heille sen viisi kärkeä edustivat viittä klassista alkuainetta:

  • ὕδωρ, hydor, vesi
  • γαῖα, gaia, maa
  • εἱλή, heile, lämpö, tuli
  • ἰδέα, idea or ἱερόν, Hieron "jumalainen asia"
  • ἀήρ, aer, ilma

Tämän mukaisesti kärkiä merkittiin kreikkalaisilla aakkosilla υ-γ-ε-ι-α. Tämä merkintä kuitenkin alkoi vaihdellen milloin mistäkin kärjestä, ja myös kiertosuunta (vasta- tai myötäpäivään) vaihteli.

Uskonnolliset symbolimerkitykset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kristinusko[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pentagrammia käytetään kristillisenä viiden aistin symbolina,[10] ja jos sen kärkiin merkitään latinan salus-sanan (terveys) kirjaimet S, A, L, V, ja S, sitä voidaan pitää terveyden symbolina.[11]

Keskiajan kristityille pentagrammi symboli Kristuksen viittä haavaa. Pentagrammin uskottiin suojaava noidilta ja pahoilta hengiltä. [12]

Pentagrammilla on suuri merkitys Arthurin tarinoissa:[12] se esiintyy Sir Gawainin kilvessä eräässä 1300-luvulla kirjoitussa runossa. Runossa selitetään sen jokaisella viidellä kärjellä olevan viisi merkitystä: ne tarkoittavat viittä aistia, viittä sormea, Kristuksen viittä haavaa,[13] Neitsyt Marian viittä ilonaihetta (Marian ilmestys, Jeesuksen syntymä, ylösnousemus, taivaaseenastuminen ja Marian taivaaseenottaminen) sekä niitä viittä ritarihyvettä, joiden ruumiillistumana Gawain toivoi voivansa itseään pitää: jalomielistä anteliaisuutta, toveruutta, puhtautta, kohteliaisuutta ja myötätuntoa.

Myöhemmin monet kristityt ovat kuitenkin tottuneet pitämään pentagrammia satanismin symbolina, mikä mahdollisesti johtuu seremoniallisten taikurien käyttämien symbolien väärästä tulkinnasta ja on johtanut siihen, että symbolia on lakattu käyttämättä kristillisissä yhteyksissä.[12]

Mormonismi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Myöhempien aikojen pyhien Jeesuksen Kristuksen kirkko on käyttänyt pentagrammia ja viisikärkistä tähteä temppeliarkkitehtuurissaan, varsinkin Nauvoo Illinois Temple[14][15]. Tähän yhteyteen symboli on omaksuttu perinteistä kristillisestä symboliikasta, jossa sitä ei kuitenkaan enää yleisesti käytetä.[16]

Juutalaisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pentagrammi oli aikoinaan Jerusalemin kaupungin virallisessa sinetissa.[12] Sellaisena sitä ei kuitenkaan tule sekoittaa kuusisakaraiseen Daavidin tähteen.

Uuspakanuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tyypillinen uuspakanallinen, ympyrän sisään piirretty pentagrammi

Monet uuspakanalliset ryhmät, erityisesti Wicca, käyttävät pentagrammia uskonnolllisena symbolina, jonka voidaan katsoa vastaavan kristinuskon ristiä tai juutalaisuuden Daavidin tähteä. Sen uskonnollisen symboliikan on selitetty johtuvan uuspythagoralaisuudesta, jossa pentagrammin viisi kärkeä esittivätä neljää klassista alkuainetta sekä ylin kärki Henkeä.

Pentagrammia ympäröivän ympyrän on toisinaan katsottu sitovan alkuaineet yhteen tai merkitsevän niiden välistä sopusointua. Uuspakanallinen pentagrammi kuvataan tavallisimmin yksi kärki ylöspäin, osittain siksi, koska päinvastaisessa asennossa sen on katsottu tuovan mieleen satanismin.

Bahailaisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pentagrammi on bahailaisuuden virallinen symboli[17], joka tunnetaan nimellä Haykal (temppeli). Sellaisena sen otti käyttöön Báb. Sekä Báb että Bahá'u'lláh kirjoittivat useita teoksia pentagrammista.

Taolaisuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Taolaisuuteen liittyy nimellä Wu Xing tunnettu oppi viidestä luontoa hallitsevasta alkuaineesta. Toisin kuin Kreikassa, jossa alkuaineina pidettiin maata, ilmaa, tulta ja vettä, tässä kiinalaisessa järjestelmässä sellaisina pidettiin tulta, maata, metallia, vettä ja puuta. Tämän viiden alkuaineen järjestelmän symbolina on usein käytetty ympyrän sisään piirrettyä pentagrammia. Ympyrän taas on kuvattu esittävän kiertokulkua, jossa puu ylläpitää tulta, tuli synnyttää maata (tuhkaa), maasta saadaan metalleja, metalliastioilla kannetaan vettä ja vesi ravitsee puuta. Sen sijaan pentagrammi esittää tuhon kiertoa, jossa puu imee maata ja maa vettä, vesi sammuttaa tulen, tuli sulattaa metallin ja metalli pilkkoo puun, tai toista kiertoa, jossa puu imee veden, vesi ruostuttaa metallin, metalli rikkoo maan, maa tukahduttaa tulen ja tuli polttaa puun. Tätä järjestelmää käytetään perinteisessä lääketieteessä (ICM) nykyäänkin. Koska Wu Xing on hyvin vanha ja silkkitien välityksellä Kiinalla on ollut yhteyksiä Eurooppaan roomalaisajoista lähtien, on todennäköistä, että jokin käsitys tästä on jo varhain välittynyt Eurooppaankin ja tullut virheellisesti tulkituksi eksoottiseksi henkiparannukseksi (Shen).

Poliittinen symboliikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Liput[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vaikka monissa lipuissa yhtenäinen esiintyy viisisakarainen tähti, pelkistä viivoista koostuva pentagrammi on melko harvinainen. Se esiintyy vain Marokon ja Etiopian lipuissa sekä muutamissa vaakunoissa.

Ivan Sachen mukaan Marokon lipussa oleva pentagrammi symboli Jumalan ja kansakunnan välistä yhteyttä.[18] On myös mahdollista, että molemmissa lipuissa pentagrammi viittaa alkujaan Salomoon (Salomon sinettiin), sillä Salomoa on pidetty viisaan kuninkaan perikuvana sekä juutalaisten, kristittyjen että muslimien keskuudessa.

Pentagrammi kirjallisuudessa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskiaikaisessa Sir Gawainin tarustossa Gawainin kilvessä olevalle pentagrammille on annettu kristillinen tulkinta (katso ylempänä #Kristinusko).

Goethen romaanissa Faust pentagrammi estää Mefistofelesta poistumasta huoneesta.

Dan Brownin romaanin Da Vinci-koodi mukaan pentagrammi symboloi Venusta, koska sen viiden peräkkäisen alakonjunktion paikat muodostavat varsin tarkoin säännöllisen pentagrammin.

Anthony Horowitzin kirjasarjassa Viisi Vartijaa pentagrammi on Viiden Vartijan tunnus.

Geometriset ominaisuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geometriassa pentagrammi luokitellaan säännölliseksi tähtimonikulmioksi, koska kaikki sen sivut ovat yhtä pitkät ja kulmat yhtä suuret. Se on siten tasasivuinen- ja tasakulmainen- sekä vielä itseään leikkaava monikulmio. Sitä voidaan säännöllisyyden vuoksi kutsua myös tähdeksi. Jokaisen säännöllisen monikulmion, kuten myös pentagrammin, sisä- ja ulkopuolelle voidaan piirtää ympyrät, jossa ulkoympyrän kehällä on kaikki kärjet ja sisäympyrää sivuavat kaikki pentagrammin sivut.[19][20][21]

Muodostuminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun ympyrän kehältä merkitään tasavälein viisi pistettä, joiden välisten kaarten keskuskulmat ovat 1/5-osa täydestä kierroksesta eli 72°, saadaan pentagrammin piirtämiseen tarvittavat kiintopisteet. Kahden pisteen yhdistäminen janalla muodostaa yhden monikulmion sivun. Kun vierekkäiset pisteet yhdistetään janoilla, saadaan säännöllinen viisikulmio, ja kun joka toinen piste yhdistetään, saadaan pentagrammi. Piirtämällä molemmat samaan kuvioon, toistetaan antiikin kreikassa paljon käytettyä tapaa. Kuitenkin pythagoralaiset pitivät pentagrammia itseään "pyhänä" kuviona, joka ilmensi heidän geometriansa monia löytöjä.[20]

Se voidaan myös ajatella syntyvän murtoviivasta, jossa on viisi yhtä pitkää janaa, yhdistämällä sen vapaat päätepisteet ja taivuttamalla sen kulmat yhtä suuriksi. Tämä voidaan toteuttaa ajattelemalla, että murtoviiva asetetaan ympyrän kehälle niin, että sivujen keskikohdat koskettavat ympyrää tangentiaalisesti. Pienentämällä sisäympyrän sädettä, liikkuvat murtoviivan päätepisteet lähemmäksi toisiaan ja kun ne koskettavat toisiaan ensimmäisen kerran, syntyy viisikulmio, ja kun ne koskettavat toisen kerran, syntyy pentagrammi (katso oheinen animaatio).[19][22]

Schläflin merkintä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viisikulmioita on olemassa kmax erilaista variaatiota, koska

k_{max} = \left \lfloor \frac{5-1}{2} \right \rfloor = 2. [22]

Säännöllisiä monikulmioita voidaan merkitä käyttäen Schläflin symboleja {n/k}. Säännöllinen viisikulmio merkitään {5} eli murtoluvulla {5/1} ja pentagrammi murtoluvulla {5/2}. Luku k = 1 tarkoittaa, että kehäpisteet kierretään kerran viisikulmiota piirrettäessä, ja k = 2 tarkoittaa, että kehäpisteet kierretään kahdesti, kun pentagrammi piirretään. Variaatioiden mukaan kuvioita kutsutaan myös k-tangentiaalisisiksi säännöllisiksi viisikulmioiksi. Silloin 1-tangentiaalinen säännöllinen viisikulmio tarkoittaa säännöllistä viisikulmiota ja 2-tangentiaalinen säännöllinen viisikulmio tarkoittaa pentagrammia.[22][23]

Erityispiirteitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitään ympyrän kehältä tasavälein viisi pistettä, joiden välisten kaarten keskuskulmat ovat \tfrac{1}{5}-osa täydestä kierroksesta eli 72°. Jokatoisen pisteen yhdistäminen janalla muodostaa jänteen, jota vastaa 2 • 72° = 144° keskuskulman. Viiden sivun piirtämiseksi joutuu kiertämään ympyrän keskipistettä 5 • 144° = 720° eli kaksi kierrosta. Näin muodostuvan pentagrammin sisäkulma, joka siis on tähtisakaran kulma, voidaan laskea lausekkeesta

\alpha = (n-2k)\tfrac{180^\circ}{n} = (5-2 \cdot 2) \tfrac{180^\circ}{5} = 36^\circ . [22]

Kaikki lävistäjät, joita on \tbinom{5}{2}-5 = 5, ovat kaikki saman pituisia. Kukin lävistäjä leikkaa kahta muuta lävistäjää kahdesta kohtaa ja kumpikin leikkauskohta jakaa lävistäjän kultaisessa leikkauksen suhteessa.

Kultainen leikkaus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pentagrammi, jossa eripituiset janat on merkitty eri väreillä. Nämä neljä pituutta ovat kultaisen leikkauksen mukaisessa suhteessa.

Monet mitat säännöllisissä viisikulmioissa ja pentagrammeissa liittyvät kultaiseen leikkaukseen. Se on irrationaaliluku, joka yksi isompi kuin käänteislukunsa

\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \Leftrightarrow \varphi ^2 - \varphi - 1 =0, [24][25]

jonka positiivinen juuri on tämä luku

\varphi = \tfrac{1}{2} (1 + \sqrt{5})  \approx 1,618033988749894848204586834365638117720.... [24][25]

Jos piirtäjä pystyy muodostamaan tämän luvun harpilla ja viivoittimella, niin säännöllisten viisikulmioiden piirtäminen konstruoinnilla on mahdollista. Ympyrän viisi kehäpistettä (A, B, ... , E) yhdistävät viisi janaa (esimerkiksi AC ja BE) leikkaavat toisensa kultaisessa suhteessa. Jos leikkauspiste on F, saadaan verranto [26]

\frac{BF}{FE} = \frac{FE}{BE} = \varphi.

Suhdeluku esiintyy sekä säännöllisessä viisikulmiossa että pentagrammissa. Pentagrammissa jokainen janojen leikkauspiste jakaa janan kultaisen leikkauksen mukaisessa suhteessa: koko janan suhde sen suurempaan osaan on φ, kuten myös suuremman osan suhde pienempään. Lisäksi tällä tavoin muodostetun lyhemmän osan suhde kahden leikkauspisteen väliseen osaan eli keskellä olevan viisikulmion sivuun on myös φ. Kuten tämä nelivärinen kuvio (oikealla) osoittaa:

\frac{\mathrm{punainen}}{\mathrm{vihrea}} = \frac{\mathrm{vihrea}}{\mathrm{sininen}} = \frac{\mathrm{sininen}}{\mathrm{violetti}} = \varphi . [27]

Sisäympyrän säde[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Säännöllisen viisikulmion kaksi muotoa, konveksi viisikulmio ja pentagrammi, syntyvät murtoviivan kiertyessä sopivan kokoisen ympyrän ympäri.

Säännöllisen tangentiaalisen viisikulmion sisäympyrän säteen rk (jota kutsutaan myös pieneksi säteeksi eli apoteemaksi [19]) laskemiseksi ratkaistaan sisäympyröiden säteet generoiva yhtälö (siinä on sivu väliaikaisesti s = 1)

\binom{5}{1} \frac{1}{2} r^4 - \binom{5}{3} \left ( \frac{1}{2} \right )^3 r^2 + \binom{5}{5} \left ( \frac{1}{2} \right )^5 = 0 [22]

eli

80r^4 - 40r^2 + 1 = 0,

josta saadaan säännöllisen viisikulmion sisäympyrän säde (k = 1, sivun pituus on taas s)

r_1= s \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{20}} = \frac{s}{2} \sqrt{\tfrac{1}{5}(5+2\sqrt{5})} \approx 0,68819s

tai pentagrammin sisäympyrän säde (k = 2)

r_2= s \sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{20}} = \frac{s}{2} \sqrt{\tfrac{1}{5}(5-2\sqrt{5})} \approx 0,16249s.

Muita ratkaisuja ei ole ja eikä muita säännöllisiä kuvioita viidestä pisteestä saadakaan.

Mittoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pentagrammin rakenne.

Seuraavassa on luetteloitu pentagrammiin liittyviä pituusmittojen ja kulmien arvoja (kirjaimet viittaavat oheiseen kuvaan).

r=r_2= \frac{s}{2} \sqrt{\tfrac{1}{5}(5-2\sqrt{5})} \approx 0,16246s (apoteema [19]) [22]
R=R_2= s\sqrt{\tfrac{1}{10}(25-11\sqrt{5})} \approx 0,200811s [27]
\rho= s\sqrt{\tfrac{1}{10}(5-\sqrt{5})} \approx 0,525731s (ulkoympyrä) [27]
a= \frac{s}{2}(3-\sqrt{5}) \approx 0,381966s [27]
b= \sqrt{5}-2 \approx 0,236068s [27]
c= a+b=\frac{s}{2} \sqrt{6-2\sqrt{5}} \approx 0,618033s
p= \frac{s}{4} (\sqrt{5} - 1) \approx 0,309017s [27]
q= \frac{s}{2} \sqrt{\tfrac{1}{2} (25-11\sqrt{5})} \approx 0,224514s [27]

Pentagrammin pinta-ala on A = \frac{s^2}{4} \sqrt{650-290 \sqrt{5}}. [27]

Kulmia ja kolmioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pentagrammin sivut yhditävät toisiinsa joka toisen kehäpisteen ja sivua vastaava kehäkulma silloin on 144°. Pentagrammia piirtäessä joutuu kiertämään ympyrän keskipistettä 5 • 144° = 720° = 2 • 360° eli kaksi kierrosta. Pentagrammin ulkokulma on (2 • 360°) ÷ 5 = 144° ja sen sisäkulma on 36°.

Pentagrammilla ei ole lävistäjiä tavallisessa mielessä, jolloin lävistäjät kulkevat monikulmion sisäosassa. Pentagrammin "lävistäjät", jotka yhdistävät vierekkäiset kärjet toisiinsa ja joita on viisi, kulkevat pentagrammin ulkopuolella.

Molempien viisikulmioiden kärjet sijaitsevat ulkoympyrän (violetti) kehällä kohdissa, joissa keskuskulma on 72°. Pentagrammin muodostaneen murtoviivan kärjet sijaitsevat joka toisessa kohdassa, joten peräkkäisten kärkien keskuskulma on 144°. Tämän takia sivut leikaavat toisiaan kahdesti symmetrisissä kohdissa ja nämä viisi leikkauskohtaa muodostavat sisäympyrää (oranssi) hieman suuremman ympyrän (punainen). Kaikki kolme mainittua ympyrää ovat samankeskisiä.[27]

Pentagrammiin sisältyy kymmenen tasakylkistä kolmiota, joista viidessä kaikki kulmat ovat teräviä, viidessä taas yksi tylppä. Niissä kaikissa pidemmän sivun suhde lyhyempään on φ eli kultainen leikkaus. Ne tasakylkiset kolmiot, joissa kaikki kulmat ovat teräviä ja jotka muodostavat tähden kärjet, ovat kultaisia kolmioita, joissa kulmat ovat 36°, 72° ja 72°. Tylppäkulmaisissa tasakylkisissä kolmioissa kulmat ovat 144°, 36° ja 36°. Sen kantana on pentagrammin sivu ja kyljet ovat janat, jotka lähtevät kärjistä ja päättyvät sakaroiden takimmaiseen leikkauspisteeseen, ja ne on merkitty oheiseen kuvioon värillisillä viivoilla.

Pentagrammin sakarat ovat tasakylkisiä kolmioita, jonka kehäkulma on 36° ja kantakulmat 72°. Tähden sisäosa on säännöllinen konveksi viisikulmio, jonka sisäkulma on 108°. Pentagrammin sakaraa kutsutaan kultaiseksi kolmioksi, sillä sen kyljen suhde kantaan on kultainen leikkaus.[27][28] Pentagrammista löytyy toinenkin tasakylkinen kolmio.

Konstruktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jo antiikin kreikan geometrian puhtaassa haarassa korostetiin ratkaisujen älyllisiä perusteluita ja kuvioiden konstruoitavuutta. Vain harppia ja viivainta käyttäen tuli kuvio voida piirtää lähtien vain muutamasta lähtötiedosta ja joukosta päättelysääntöjä. Säännöllisellä viisikulmiolla ja pentagrammilla on muutama antiikin aikainen ratkaisu.

Pääartikkeli: Viisikulmion konstruktio

Pentagrammi tähtitieteessä ja luonnossa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Venus pentagram.png
Venus kiertää 13 kertaa Auringon ympäri melko tarkoin yhtä pitkässä ajassa kuin Maa 8 kertaa. Tämän vuoksi sen viiden peräkkäisten alakonjunktion paikat muodostavat jokseenkin tarkoin pentagrammin.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Grünbaum, B. and G. C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1.
  • Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43-70.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Biedermann, Hans: Suuri symbolikirja. (Knaurs Lexikon der Symbole, 1989.) Suomentanut ja toimittanut Pentti Lempiäinen. Porvoo Helsinki Juva: WSOY, 1993 (8. painos 2004). ISBN 951-0-18537-X.
  2. Order of the Eastern Star
  3. "Pentagram" article in The Continuum Encyclopedia of Symbols Becker, Udo, ed., Garmer, Lance W. translator, New York: Continuum Books, 1994, p. 230.
  4. Signs and Symbols in Christian Art Ferguson, George, Oxford University Press: 1966, p. 59.
  5. Labat, René. Manuel d'épigraphie akkadienne: Signes, Syllabaire, Idéogrammes. Tässä järjestelmässä pentagrammi on symboli numero 306.
  6. http://merlinravensong2.tripod.com/the-pentagram.html
  7. http://knowledgerush.com/kr/encyclopedia/Pentagram/
  8. http://merlinravensong2.tripod.com/the-pentagram.html
  9. http://knowledgerush.com/kr/encyclopedia/Pentagram/
  10. Christian Symbols Ancient and Modern, Child, Heather and Dorothy Colles. New York: Charles Scribner's Sons, 1971, ISBN 0-7135-1960-6.
  11. http://www.mediade.si/media/symbolic.meaning.of.the.pentagram.extract.pdf
  12. a b c d Pentagram, pentacle
  13. Christian Symbols and How To Use Them, Knapp, Justina; Milwaukee: The Bruce Publishing Company, 1955. Plate LXV, Plate LV (Imprimatur, Jos. F. Busch, Bishop of St. Cloud)
  14. http://users.marshall.edu/~brown/nauvoo/nt-parent.html Nauvoo Temple
  15. http://users.marshall.edu/~brown/nauvoo/symbols.html
  16. http://www.fairlds.org/pubs/Stars.pdf
  17. [http://reference.bahai.org/en/t/se/DG/dg-141.html Bahá'í Reference Library - Directives from the Guardian, Pages 51-52
  18. Moroccan flag on Flagspot.net accessed on 10 February, 2006.
  19. a b c d Väisälä, Kalle: Geometria, s.91-98
  20. a b Weisstein, Eric W.: Cyclic Pentagon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  21. Weisstein, Eric W.: Tangential Polygon (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  22. a b c d e f Radić, Mirko: Some relations and properties concerning tangential polygons. Mathematical Communications, 1999, nro 4, s. 197-206. Osijek, Kroatia: University of Osijek. ISSN 1331-0623. Artikkelin verkkoversio (pdf) Viitattu 5.10.2013. (englanniksi)
  23. Weisstein, Eric W.: Schläfli Symbol (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  24. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s.125-130
  25. a b Weisstein, Eric W.: Golden Ratio (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  26. Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita, 2011, s.42-43
  27. a b c d e f g h i j Weisstein, Eric W.: Pentagram (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  28. Weisstein, Eric W.: Golden Triangle (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]