Aritmeettinen sarja

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Aritmeettinen sarja on ääretön summalauseke, jonka jokaisen kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen sarjan termit siis muodostavat aritmeettisen jonon. Esimerkki aritmeettisesta sarjasta on 1 + 2 + 3 + 4 + \dots, jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on 2,0 + 1,5 + 1,0 + 0,5 + \dots, jossa vakioerotus on –0.5).

Aritmeettisen sarjan summa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sarja 0 + 0 + 0 + \dots on ainoa suppeneva aritmeettinen sarja. Sarjan summa on 0. Kaikilla muilla aritmeettisilla sarjoilla on epäoleellinen rajaarvo \pm \infty, eli sarjat hajaantuvat.

Lausekkeita aritmeettiselle sarjalle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • n:s termi: a_n = a_1 + (n - 1)d \qquad \mbox{(1)} \,\!, missä d = peräkkäisten termien erotus
  • Ensimmäisten n termin summa: S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n

= \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n - 1)d)}{2}

Todistus 1: Geometrisesti Sn on kolmiomaisen alueen ala, joka koostuu pylväistä, joiden korkeus on an ja leveys 1. Tämä johtaa triviaalisti kaavaan S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}.
Todistus 2: Kirjoitetaan Sn kahdella eri tavalla käyttäen kaavaa (1):
 S_n = (a_1) + (a_1+d) + (a_1+2d) + \dots + (a_1+(n-2)d) + (a_1+(n-1)d) \qquad \mbox{(2)}
 S_n = (a_n-(n-1)d) + (a_n-(n-2)d) + \dots + (a_n-2d) + (a_n-d) + (a_n) \qquad \mbox{(3)}
Lasketaan yhteen (2) + (3), jolloin kaikki d:t kumoutuvat pois:
 2S_n = n(a_1 + a_n) \,\!
 \Rightarrow \ S_n = \frac{n( a_1 + a_n)}{2}.

Aritmeettisen sarjan summalle  S_n kaikilla n:n arvoilla pätee:[1]

 S_{3n} = 3(S_{2n}-S_n)

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet
  1. Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Matemaattiset tehtävät ylioppilastutkinnoissa 1969–1989. 36. painos, Tehtävä 6, s. 12. Jyväskylä, Gummerus, 1981. ISBN 951-20-1814-4.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]