Aritmeettinen sarja

Aritmeettinen sarja on ääretön summalauseke, jonka jokaisen kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen sarjan termit siis muodostavat aritmeettisen jonon. Esimerkki aritmeettisesta sarjasta on $1 + 2 + 3 + 4 + \dots$, jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on $2,0 + 1,5 + 1,0 + 0,5 + \dots$, jossa vakioerotus on –0.5).

Aritmeettisen sarjan summa

Sarja $0 + 0 + 0 + \dots$ on ainoa suppeneva aritmeettinen sarja. Sarjan summa on 0. Kaikilla muilla aritmeettisilla sarjoilla on epäoleellinen rajaarvo $\pm \infty$, eli sarjat hajaantuvat.

Lausekkeita aritmeettiselle sarjalle

• n:s termi: $a_n = a_1 + (n - 1)d \qquad \mbox{(1)} \,\!$, missä d = peräkkäisten termien erotus

• Ensimmäisten n termin summa: $S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$

$= \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ $= \frac{n(2a_1 + (n - 1)d)}{2}$

Todistus 1: Geometrisesti S_n on kolmiomaisen alueen ala, joka koostuu pylväistä, joiden korkeus on a_n ja leveys 1. Tämä johtaa triviaalisti kaavaan $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.

Todistus 2: Kirjoitetaan S_n kahdella eri tavalla käyttäen kaavaa (1):

$S_n = (a_1) + (a_1+d) + (a_1+2d) + \dots + (a_1+(n-2)d) + (a_1+(n-1)d) \qquad \mbox{(2)}$

$S_n = (a_n-(n-1)d) + (a_n-(n-2)d) + \dots + (a_n-2d) + (a_n-d) + (a_n) \qquad \mbox{(3)}$

Lasketaan yhteen (2) + (3), jolloin kaikki d:t kumoutuvat pois:

$2S_n = n(a_1 + a_n) \,\!$

$\Rightarrow \ S_n = \frac{n( a_1 + a_n)}{2}$.

□

Katso myös

• Geometrinen sarja

Aiheesta muualla

• Alkulukujen esiintyminen aritmeettisina jonoina