Täydellinen luku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Täydellinen luku on luonnollinen luku, joka on itseään pienempien tekijöidensä summa. Täydellisiä lukuja ovat esimerkiksi 6 ja 28, koska 1 + 2 + 3 = 6 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole täydellisiä, ovat joko runsaita tai vajaita.

Laskenta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Muinaiset kreikkalaiset tunsivat vain neljä pienintä täydellistä lukua. Eukleides kirjoitti noin 300 eaa. kirjassaan Elementa, että ne saadaan kaavalla

2^{n - 1}(2^n - 1) \,\!.

Eukleideen tuntemat täydelliset luvut ovat:

  • n = 2: 2^1(2^2 - 1) = 6 = 1 + 2 + 3 \,\!
  • n = 3: 2^2(2^3 - 1) = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \,\!
  • n = 5: 2^4(2^5 - 1) = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 \,\!
  • n = 7: 2^6(2^7 - 1) = 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 \,\!. [1]

Eukleides osoitti, että 2^{n - 1}(2^n - 1) \,\! on täydellinen luku aina, kun 2^n - 1 \,\! on Mersennen alkuluku. Vasta vuonna 1747 Leonhard Euler todisti, että kaavalla voidaan tuottaa kaikki parilliset täydelliset luvut[2]. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja.[1] Tiedetään kuitenkin, että parittoman täydellisen luvun täytyy olla suurempi kuin 10^{300} ja sillä täytyy olla vähintään 8 alkulukutekijää, mikäli se on olemassa. Jos luku ei ole kolmella jaollinen, alkulukutekijöitä on vähintään 11. Mersennen alkulukuja ja siten myös täydellisiä lukuja etsitään GIMPS-projektin avulla.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Täydellisillä luvuilla on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Tekijöiden käänteislukujen summa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Täydellisen luvun kaikkien tekijöiden käänteislukujen summa on kaksi,

\sum_{k\mid n} \frac{1}{k} = 2.

Esimerkiksi, kun luku on 6, on sillä tekijät \{1, 2, 3, 6 \} ja niiden käänteislukujen summa on

\sum_{k\mid 6} \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{12}{6} = 2.

Jokainen (parillinen) täydellinen luku on myös kolmioluku.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Barrow John D.: Lukujen taivas. Suom. Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0.
  • Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.
  1. a b Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, s. 177
  2. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, s. 643
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.