Täydellinen luku

Täydellinen luku on luonnollinen luku, joka on itseään pienempien tekijöidensä summa. Täydellisiä lukuja ovat esimerkiksi 6 ja 28, koska 1 + 2 + 3 = 6 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole täydellisiä, ovat joko runsaita tai vajaita.

Laskenta

Muinaiset kreikkalaiset tunsivat vain neljä pienintä täydellistä lukua. Eukleides kirjoitti noin 300 eaa. kirjassaan Elementa, että ne saadaan kaavalla

$2^{n - 1}(2^n - 1) \,\!$.

Eukleideen tuntemat täydelliset luvut ovat:

• n = 2: $2^1(2^2 - 1) = 6 = 1 + 2 + 3 \,\!$
• n = 3: $2^2(2^3 - 1) = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \,\!$
• n = 5: $2^4(2^5 - 1) = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 \,\!$
• n = 7: $2^6(2^7 - 1) = 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 \,\!$.

Eukleides osoitti, että $2^{n - 1}(2^n - 1) \,\!$ on täydellinen luku aina, kun $2^n - 1 \,\!$ on Mersennen alkuluku. Vasta vuonna 1747 Leonhard Euler todisti, että kaavalla voidaan tuottaa kaikki parilliset täydelliset luvut. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja. Tiedetään kuitenkin, että parittoman täydellisen luvun täytyy olla suurempi kuin $10^{300}$ ja sillä täytyy olla vähintään 8 alkulukutekijää, mikäli se on olemassa. Jos luku ei ole kolmella jaollinen, alkulukutekijöitä on vähintään 11. Mersennen alkulukuja ja siten myös täydellisiä lukuja etsitään GIMPS-projektin avulla.

Ominaisuuksia

Täydellisillä luvuilla on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Tekijöiden käänteislukujen summa

Täydellisen luvun kaikkien tekijöiden käänteislukujen summa on kaksi,

$\sum_{k\mid n} \frac{1}{k} = 2$.

Esimerkiksi, kun luku on 6, on sillä tekijät $\{1, 2, 3, 6 \}$ ja niiden käänteislukujen summa on

$\sum_{k\mid 6} \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Jokainen (parillinen) täydellinen luku on myös kolmioluku.

Katso myös

• Moninkertaisesti täydellinen luku
• Puolitäydellinen luku
• Runsas luku
• Vajaa luku
• Lähes täydellinen luku
• GIMPS

Lähteet

• Barrow John D.: Lukujen taivas. Suom. Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0.
• Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.