Säännöllinen monikulmio

Säännöllinen viisikulmio

Geometriassa säännöllinen monikulmio on monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria. Säännöllinen monikulmio on siis tasasivuinen ja tasakulmainen.

Säännöllinen nelikulmio on neliö.

Ominaisuuksia

• Kaikista monikulmioista, joiden kulmien lukumäärä ja joiden piiri on kiinnitetty, alaltaan suurin monikulmio on säännöllinen.
• Kaikista monikulmioista, joiden kulmien lukumäärä ja joiden pinta-ala on kiinnitetty, piiriltään lyhin monikulmio on säännöllinen.

Kulmien suuruus

Kaikille säännöllisille monikulmioille pätee: Jokaisen sisäkulman suuruus on:

α = (1- 2/n) * 180°.

Pinta-ala

Kaikille säännöllisille monikulmioille pätee: Jos säännöllisen n-kulmion sivun pituus on s, sen pinta-ala on

$A = \frac{n s^2}{4 \tan{\frac{180^\circ}{n}}}$.

Kääntäen jos säännöllisen n-kulmion pinta-ala on A, sen sivun pituus on

$s = \sqrt \frac {4 A \tan{\frac{180^\circ}{n}}}{n}.$

Joidenkin kulmien tangenttien tarkat arvot voidaan esittää murto­lukuina tai juuri­lausekkeina, joita voidaan käyttää myös moni­kulmioiden pinta-alojen laskemiseen. Niinpä on:

$\tan{\frac{180^\circ}{3}} = \tan{60^\circ} = \sqrt{3} \approx 1{,}73205$

$\tan{\frac{180^\circ}{4}} = \tan{45^\circ} = 1$

$\tan{\frac{180^\circ}{5}} = \tan{36^\circ} = \sqrt{5 - 2\sqrt {5}} \approx 0{,}72654$

$\tan{\frac{180^\circ}{6}} = \tan{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}57735$

$\tan{\frac{180^\circ}{8}} = \tan{22{,}5^\circ} = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}41421$

Esimerkiksi s-sivuisen tasasivuisen kolmion pinta-ala on

$A = \frac {s^2 \sqrt{3}}{4}$

ja neliön yksinkertaisesti

$A = s^2.$

Säännöllisen monikulmion, jonka kulmien (vast. sivujen) lukumäärä on parillinen, pinta-ala voidaan laskea myös usein käyttökelpoisesta kaavasta

$A=\frac{pd}{4},$

missä $p$ on monikulmion ympärysmitta ja $d$ sen vastakkaisten sivujen välinen etäisyys.