Pii (vakio)

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kun ympyrän halkaisija on 1, ympyrän kehä on pii.

Luku pii (merkitään pienellä kreikkalaisella π-kirjaimella) on matemaattinen vakio, joka esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla. Se tunnetaan myös nimillä Arkhimedeen vakio ja (erityisesti saksankielisellä alueella) Ludolfin luku.

Piin likiarvo katkaistuna 100 desimaalin jälkeen on 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Määritelmän mukaan pii on yhtä kuin ympyrän kehän suhde halkaisijaan (euklidisessa geometriassa). Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä r-säteisen ympyrän pinta-alan suhteena r-sivuisen neliön pinta-alaan: \frac{\pi r^2}{r^2} = \pi. Joissain analyysin kirjoissa pii määritellään pienimmäksi positiiviseksi luvuksi x, jolle \sin(x) = 0.

Eukleideen Alkeet-teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (= π / 4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Ferdinand Lindemann todisti vuonna 1882 piin olevan transsendenttiluku, eli luku, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin nollakohta.

Piin historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pii

Koska pii on transsendenttiluku, sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksia, potenssiinkorotusta ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. Vanhan testamentin Kuningasten kirjassa \pi on 3: "Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri".[1]

Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä \pi:n likiarvoja on egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanottuun Rhindin papyrukseen. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa \pi:n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin 2000 vuotta ennen ajanlaskun alkua babylonialaiset otaksuivat, että \pi on joko 3 tai \frac{25}{8} (yksi desimaali oikein). Myös likiarvo \frac{22}{7} (kaksi des. oik.) on tiedetty pitkään.

Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes todisti ympyrän sisään ja ympärille piirrettyjen monikulmioiden avulla, että ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on lukujen 3 \frac{1}{7} ja 3 \frac{10}{71} välillä.[2] Ptolemaios käytti \pi:n arvoa \frac{377}{120} (kolme des. oik.). Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla \pi:lle arvon \frac{355}{113} (kuusi des. oik.), jota parempi murtolukuarvio on vasta \frac{103993}{33102} (yhdeksän des. oik.).

Luku \pi todistettiin irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.

Sarjakehitelmät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Piin voi esittää päättymättömänä sarjana. Eräs varhainen ja yksinkertainen tapa määritellä pii sarjana on Gottfried Leibnizin kehittämä Gregory–Leibniz-sarja:

 \pi = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots\,

Tämä sarja suppenee kuitenkin liian hitaasti, jotta sitä kannattaisi käyttää piin likiarvojen laskemiseen. Siitä olisi laskettava vähintään 294 ensimmäistä termiä, jotta saataisiin edes kaksidesimaalinen likiarvo 3,14. Vuonna 1706 John Machin todisti kuitenkin seuraavan yhtälön:

\frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\!

Koska arkustangentin Taylorin sarjakehitelmä on

\arctan \, x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\!

saatiin tästä piille nopeasti suppeneva ja käyttökelpoinen sarjakehitelmä:

\frac{\pi}{4} = \frac{4}{5} - \frac{4}{3 \cdot 5^3} + \frac{4}{5 \cdot 5^5} - \frac{4}{7 \cdot 5^7} + ....  - \frac{1}{239} + \frac{1}{3 \cdot 239^3} - \frac{1}{5 \cdot 239^5} + \frac{1}{7 \cdot 239^7} - ...

Machin itse laski tällä kaavalla piin 100 desimaalin tarkkuudella, ja myöhemminkin tätä sarjaa on paljon käytetty yhä tarkempien likiarvojen laskemiseen.

Alkulukujen 7, 11, 13,... avulla on johdettu tulokaava[3]

 \pi = [945 ({7^6 \over 7^6 - 1} \cdot {11^6 \over 11^6 - 1} \cdot {13^6 \over 13^6 - 1} \cdot ...)]^{1 \over 6}

Edellistä pienemmistä alkuluvuista 2, 3, 5, ... lähtien pätee myös tulokaava[3]

 (1 - {1 \over 2^2})(1 - {1 \over 3^2})(1 - {1 \over 5^2}) ... = {6 \over \pi ^2}

Vuorottelevista sarjoista voidaan mainita tulos[3]

 \sum_{k=1}^ \infty {(-1)^{k-1} \over k^2} = {\pi ^2 \over 12} ,

josta saadaan

 \pi = \sqrt {12 (1 - {1 \over 4} + {1 \over 9} - {1 \over 16} + {1 \over 25} - ...)}

Muita äärettömiä sarjoja:

\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k k!^2}{(2k+1)!}=\frac{\pi}{2}\!
\frac{\sqrt{3}}{6^5} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{((4k)!)^2(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!} \left( \frac{127169}{12k + 1} - \frac{1070}{12k + 5} - \frac{131}{12k + 7} + \frac{2}{12k + 11}\right)=\pi\!
\frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)=\pi\!
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n - 1}{4^n}\, \zeta(n+1) = \pi\!
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}\!
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^2 = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}\!
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^3 = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}\!
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^4 = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{96}\!
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^5 = \frac{1}{1^5} - \frac{1}{3^5} + \frac{1}{5^5} - \frac{1}{7^5} + \cdots = \frac{5\pi^5}{1536}\!
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right) }^6 = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{960}\!
\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)
\pi=8\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(4m-2)^{2k}}=4\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{m^2-k^2}{(m^2+k^2)^2}=\sqrt[4\,\,]{360 \sum \limits_{k=1}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^k\frac{1}{m(k+1)^3}}.

Muutama BBP-kaava:

\begin{align}
\pi &= \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right).
\end{align}

Äärettömiä tuloja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Wallisin tulo:

 \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdot \frac{64}{63} \cdots = \frac{\pi}{2} \!

Viètan kaava:

\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots = \frac2\pi\!.

Muita äärettömiä tuloja:

\pi= 2\sqrt{3}\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k-1 \right )^{\frac 12 -k} \left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}}{2k+1}\left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}

\frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}

\pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}

\pi=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{2}{3}\right )^2}

\pi=\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{3}{4}\right )^2}

\pi=\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{5}{6}\right )^2}

\pi=\frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{2}{9}}

\pi=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{5}{36}}.

Approksimaatioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • kaksi oikeaa desimaalia:
\sqrt{2} + \sqrt{3} = 3.146^+
\sqrt{15} - \sqrt {3} + 1 = 3.140^+
  • kolme oikeaa desimaalia:
\sqrt[3]{31} = 3.1413^+
  • kolme oikeaa desimaalia:
\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}} = 3.1416^+[4]
  • Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kolme oikeaa desimaalia:
\frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}} = 3.1416^+
  • neljä oikeaa desimaalia:
\frac{7^7}{4^9} = 3.14156^+
  • kuusi oikeaa desimaalia:
\frac{355}{113} = 3.14159\ 29^+
  • Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kahdeksan oikeaa desimaalia:
 \sqrt[4]{3^4+2^4+\frac{1}{2+(\frac{2}{3})^2}}  =\sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.14159\ 2652^+
  • yhdeksän oikeaa desimaalia:
\frac{63}{25} \times \frac{17 + 15\sqrt{5}}{7 + 15\sqrt{5}} = 3.14159\ 26538^+
  • yhdeksän oikeaa desimaalia:
\sqrt[193]{\frac{10^{100}}{11222.11122}} = 3.14159\ 26536^+
  • 17 oikeaa desimaalia:
\frac{80\sqrt{15}(5^4+53\sqrt{89})^\frac{3}{2}}{3308(5^4+53\sqrt{89})-3\sqrt{89}}
  • 29 oikeaa desimaalia:
\frac{\ln(640320^3+744)}{\sqrt{163}} = 3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^+
  • 51 oikeaa desimaalia:
\frac{\ln(5280^3(236674+30303\sqrt{61})^3+744)}{\sqrt{427}}
  • 160 oikeaa desimaalia:
\frac{\ln\big((2u)^6+24\big)}{\sqrt{3502}}
missä
u = (a+\sqrt{a^2-1})^2(b+\sqrt{b^2-1})^2(c+\sqrt{c^2-1})(d+\sqrt{d^2-1})
ja
\begin{align}
a &= \tfrac{1}{2}(23+4\sqrt{34})\\
b &= \tfrac{1}{2}(19\sqrt{2}+7\sqrt{17})\\
c &= (429+304\sqrt{2})\\
d &= \tfrac{1}{2}(627+442\sqrt{2})
\end{align}.

Piin desimaalien laskeminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Englantilainen matemaatikko William Shanks laski 20 vuoden ajan piin desimaaleja käsin ja ratkaisi luvun 707 desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1945 kuitenkin huomattiin, että laskun 528. desimaali oli laskettu virheellisesti.[5]

Nykyään piin desimaaleja lasketaan tietokoneilla.

1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja nykyään siitä tiedetään ensimmäiset noin 2,5 biljoonaa desimaalia.[6] 1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin heksadesimaaliesityksen numeroita mielivaltaisesta kohdasta ilman, että aiempia numeroita tarvitsee tietää.

Muita esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolikkoa kuvaava ympyrä neliöruudukolla.

Kun kolikko heitetään satunnaisesti neliöruudukolle, jossa kunkin neliön sivun pituus on sama kuin kolikon halkaisija (eli kaksi kertaa säde r), niin todennäköisyys, että kolikko peittää neliöiden risteyskohdan kuvassa esitetyllä tavalla, on π/4. Toistamalla koe lukuisia kertoja saadaan piille kokeellinen likiarvo.[7]

Avoimia kysymyksiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vaikka piistä tiedetään paljon, on vielä useita avoimia kysymyksiä sen desimaaleihin liittyen:

  • Onko desimaaleissa toistuvia kuvioita, vai onko ketju hahmoton?[5]
  • Toistuvatko jotkut numerot tai luvut piissä useammin kuin toiset?[5]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Theoni Pappas: Lisää matematiikan iloja. (Alkuteos: More Joy of Mathematics. Exploring Mathematics All Around You). Suom. Juha Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita, 1991. ISBN 952-5202-46-1.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. 1. Kun. 7:23
  2. Iso tietosanakirja, 9. osa (Mustonen-Pielisjärvi), art. Pi, Otava 1935
  3. a b c Jukka Männistö: Matematiikan helmiä lukiolaisille. Luvun pii määrittämiskeinoja, s. 17–23. Tampereen yliopisto. Tampereen normaalikoulun julkaisuja. Sarja A1: Tutkielmia ja monisteita 1, 1993. ISBN 951-44-3422-6.
  4. A nested radical approximation for π
  5. a b c Theoni Pappas s. 45
  6. Daisuke Takahashi: Määritä nimeke! 17.9.2009. Viitattu 23.9.2009. (englanniksi)
  7. Yrjö Juve, Todennäköisyyslaskennan alkeita, 5. painos, Kirjayhtymä, 1971, s. 24–25.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Beckmann, Petr: π: Erään luvun tarina. (A history of π, 1971.) Suomentanut Hannele Salminen. Helsinki: Terra Cognita, 2000. ISBN 952-5202-28-3.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • [1] Gutenberg-projektin teksti, jossa on ensimmäiset 10 miljoonaa desimaalia
  • PiFastilla voi itse laskea piin ja muiden vakioiden arvoja erittäin tarkasti
  • Pi-memory
  • [2] Pii-laskin, joka toimii selaimessa