Puolisuunnikas

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Puolisuunnikas, jonka korkeusjana on h ja kannat a ja b.
Osa artikkelisarjaa
Geometria
POV-Ray-Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Puolisuunnikas on nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat keskenään yhdensuuntaiset. Toisinaan puolisuunnikkaalta vaaditaan, että täsmälleen kaksi sivuista ovat keskenään yhdensuuntaiset erotukseksi suunnikkaasta.

Tasakylkisessä[1] puolisuunnikkaassa kantakulmat ovat yhtä suuret, jolloin ei-yhdensuuntaiset sivut ovat yhtä pitkät.

Jos toisetkin kaksi sivua ovat keskenään yhdensuuntaiset, on kyseessä suunnikas. Muussa tapauksessa ei-yhdensuuntaisia sivuja voidaan jatkaa kolmioksi, jonka sisällä puolisuunnikas sijaitsee.

Nelikulmio on puolisuunnikas jos ja vain jos kahden vierekkäisen kulman summa on 180 astetta (π radiaania). Toinen riittävä ja välttämätön ehto puolisuunnikkaalle on sen, että lävistäjät jakavat toistensa samassa suhteessa. Suhde on sama kuin yhdensuuntaisten sivujen pituuksien suhde.

Puolisuunnikkaan ala voidaan laskea yhdensuuntaisten sivujen pituuksien keskiarvona kerrottuna näiden sivujen etäisyydellä. Tämän erikoistapauksena saadaan kolmion pinta-alan kaava, sillä kolmio voidaan ajatella surkastuneeksi puolisuunnikkaaksi, missä toinen yhdensuuntaisista sivuista on kutistunut pisteeksi.

Siis jos a ja b ovat kahden yhdensuuntaisen sivun pituudet ja h on näiden etäisyys, on puolisuunnikkaan pinta-ala

A= \frac{(a+b)h}{2}

Toinen kaava pinta-alalle saadaan jos kaikkien sivujen pituudet tunnetaan. Jos sivun pituudet ovat a, b, c ja d, sekä a ja c ovat yhdensuuntaisia, on puolisuunnikkaan pinta-ala:

A=\frac{a+c}{4(|a-c|)}\sqrt{\scriptstyle (a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}

Jos puolisuunnikas jaetaan neljäksi kolmioksi pitkin lävistäjiä AC ja BD, ja nämä leikkaavat pisteessä O, pätee pinta-aloille ΔAOD = ΔBOC ja ΔAOD × ΔBOC = ΔAOB × ΔCOD. Kahden vierekkäisen kolmion pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin yhdensuuntaisten sivujen suhde.

Puolisuunnikkaan ei-yhdensuuntaisten sivujen keskipisteitä yhdistävä jana puolittaa jokaisen janan, jonka päätepisteet sijaitsevat kummallakin yhdensuuntaisista sivuista. Puolisuunnikkaassa

  • sen kantojen keskipisteet yhdistävä jana leikkaa lävistäjät niiden leikkauspisteessä.[2]
  • sen kylkien keskipisteet yhdistävä jana on yhdensuuntainen kantojen kanssa.[2][3]
  • tasan yksi pari yhdensuuntaisia [4]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Jukka Kangasaho, Jukka Mäkinen, Juha Oikkonen, Johannes Paasonen, Maija Salmela: Geometria (Pitkä matematiikka). Tehtävä 146, s. 65. WSOY, 2001. ISBN 951-0-24558-5.
  2. a b King, James: Trapezoids, Univercity of Washington, Seattle, USA
  3. Math Open Reference: Median of a trapezoid
  4. Geometry: Trapezoid

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]