Suuntaissärmiö

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Suuntaissärmiö
Rhombohedron
Tyyppi Monitahokas
Sivuja 6 suunnikasta
Särmiä 12
Kärkiä 8
Symmetriaryhmä Syklinen symmetria Ci
Ominaisuuksia kupera
Osa artikkelisarjaa
Geometria
POV-Ray-Dodecahedron.svg

Tasogeometria
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria

Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas

Avaruusgeometria
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale

Euklidinen geometria
Paralleeliaksiooma

Epäeuklidinen geometria
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria

Analyyttinen geometria

Suuntaissärmiö (suunnikassärmiö eli parallelepipedi[1]) on kuusitahkoinen monitahokas, jonka tahkot ovat suunnikkaita.

Suuntaissärmiöllä on kahdeksan kärkipistettä ja kaksitoista särmää. Särmät muodostavat kolme ryhmää, joissa kussakin on neljä keskenään yhdensuuntaista ja yhtä pitkää särmää. Vastakkaiset tahkot ovat yhdensuuntaiset. Suuntaissärmiö on särmiö, jossa mitkä tahansa kaksi vastakkaista tahkoa voidaan tulkita pohjiksi ja muut neljä tahkoa sivutahkoiksi.

Suuntaissärmiön erikoislajeja ovat suorakulmainen särmiö, jonka sivut ovat suorakulmioita, romboedri, jonka sivut ovat neljäkkäitä, sekä kaikkein säännöllisimpänä kuutio, jonka sivut ovat neliöitä.

Suuntaissärmiön avaruuslävistäjät leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on suuntaissärmiön symmetriakeskus. Erikoistapauksia lukuun ottamatta suuntaissärmiöllä ei ole symmetria-akselia eikä symmetriatasoa, mutta jokaisella tahkolla on symmetriakeskus.

Tilavuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vektorit, jotka määrittävät suuntaissärmiöt

Suuntaissärmiön tilavuus saadaan kertolaskulla Ah, missä A on jonkin tahkon (kannan) pinta-ala, ja h on särmiön korkeus eli kyseisen tahkon kohtisuora etäisyys vastakkaisesta tahkosta.

Tilavuus skalaarikolmitulon avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suuntaissärmiön tilavuus voidaan myös laskea käsittelemällä sen yhdestä kärkipisteestä alkavia, erisuuntaisia särmiä vektoreina:

a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) ja c = (c1, c2, c3).

Tällöin suuntaissärmiön tilavuus on sama kuin näiden vektorien skalaarikolmitulon itseisarvo:

V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = |\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})| = |\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})|

Näin on, koska jos b ja c muodostamaa sivua käytetään kantana, on näiden sivujen muodostaman suunnikkaan pinta-ala yhtä suuri kuin vastaavien vektorien ristitulo, joka määritelmän mukaan on

A = |b| |c| sin θ = |b × c|,

missä θ on sivujen b välinen kulma.

Suuntaissärmiön korkeus taas on

h = |a| cos α,

missä α on sivun a ja sitä vastaan kohtisuoran korkeussuunnan h välinen kulma. Ristitulon määritelmän mukaan tämä korkeussuunta on samalla ristitulovektorin b \times c suunta.

Tästä seuraa edelleen, että tilavuus

V = Ah = |a| |b × c| |cos β|,

mikä vektorien pistetulon määritelmän mukaan on yhtä suuri kuin a · (b × c).

Tilavuus determinantin avulla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos suuntaissärmiön sivut komponenttimuodossa ilmoitettuina vektoreina ovat a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) ja c = (c1, c2, c3), on suuntaissärmiön tilavuus yhtä suuri kuin näistä muodostetun matriisin determinantin itseisarvo :

 V = \left| \det \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3
 \end{bmatrix} \right|. = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 + a_3 b_2 c_1.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa sivut a, b ja c ovat koordinaattiakselien suuntaisia, jolloin kyseessä on suorakulmainen särmiö. Tällöin näistä komponenteista kaikki muut paitsi a1, b2 ja c3 ovat nollia, jolloin tämä lauseke yksinkertaistuu muotoon

 V = \left| a_1 b_2 c_3 \right|

eli suorakulmaisen särmiön tilavuus saadaan kertomalla sen erisuuntaisten särmien pituudet keskenään.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Otavan iso Fokus, 5. osa (Ra-Su), art. Suunnikassärmiö, Kustannusosakeyhtiö Otava, 1974, ISBN 951-1-00050-0