Koordinaatisto

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Kaksiulotteinen karteesinen koordinaatisto

Koordinaatisto on geometrinen järjestelmä alueen kuvaamiseen ja sen mittasuhteiden, sijaintien tms. ilmoittamiseen.

Koordinaatistossa yksikäsitteistä paikkaa eli pistettä kuvataan koordinaateilla. Koordinaatit voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Pisteillä on yhtä monta koordinaattia kuin koordinaatistossa on ulottuvuuksia. Ulottuvuuksien ja niitä vastaavien koordinaattien niminä on useimmiten x, y ja z. X- ja y-akseleita kutsutaan myös joskus abskissaksi ja ordinaataksi.

Origo on suorakulmaisen koordinaatiston nollapiste, jossa kaikkien koordinaattien arvo on nolla ja koordinaatistoakselit leikkaavat toisensa.

Suorakulmainen koordinaatisto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmiulotteinen karteesinen koordinaatisto

Yleisimmin koordinaatistolla tarkoitetaan etenkin matematiikassa suorakulmaista eli karteesista koordinaatistoa. Suorakulmaisessa koordinaatistossa on ulottuvuuksien mukainen määrä akseleita, jotka on nimetty kuvaamansa ulottuvuuden mukaan. Akselit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa yleensä oikeakätisesti, ja ne kulkevat koordinaatiston nollapisteen eli origon kautta sekä leikkaavat toisensa siinä.

Koordinaatistolle on annettu myös mittayksikkö, ja niinpä kunkin pisteen koordinaatit ilmoittavat matkan, joka kutakin akselia tulee kulkea, jotta päästäisiin merkittyyn pisteeseen. Kun koordinaatistolla kuvataan tasoa, käytetään kahta akselia: vaakasuunnan kuvaamiseen x-akselia ja pystysuunnalle y-akselia. Kolmiulotteisessa avaruudessa tarvitaan puolestaan kolme akselia: x-, y- ja z-akselit.

Koordinaatit ilmoitetaan merkitsemällä ne sulkeisiin järjestyksessä (x, y, z) ja erottamalla kunkin ulottuvuuden koordinaattiluku pilkulla. Esimerkiksi (2, -3) tarkoittaa, että piste sijaitsee kaksiulotteisen koordinaatiston pisteessä x = 2 ja y = -3 (tässä 2 on ns. abskissa ja -3 ns. ordinaatta). Jos koordinaatit sisältävät desimaalipilkkuja, ne erotetaan toisistaan puolipisteellä, esimerkiksi (4,5; 2,25; -6,8).

Napakoordinaatisto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Napakoordinaatisto, jossa kiertokulmat on merkitty asteina.
Pääartikkeli: Napakoordinaatisto

Napakoordinaatistossa koordinaatit esitetään kiertokulman \theta ja säteen r funktiona. Muunnoskaavat karteesisen ja napakoordinaatiston välillä ovat:


\begin{align}
x &= r \cos \theta \\
y &= r \sin \theta
\end{align}


Käänteismuunnokset karteesisista koordinaateista napakoordinaatteihin voidaan johtaa Pythagoraan lauseen ja trigonometrian avulla:


\begin{align}
r &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta &= \arctan \frac{y}{x}
\end{align}

Sylinterikoordinaatisto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sylinterikoordinaatisto on kolmiulotteinen koordinaatisto, jossa x- ja y-tasossa käytetään napakoordinaatistoa ja sen lisäksi z-suunnassa karteesista z-koordinaattia. Koordinaatin muodostaa siis kolmikko (φ,r,z). Käänteismuunnos karteesisesta koordinaatistosta sylinterikoordinaatteihin tapahtuu vastaavalla tavalla kuin napakoordinaatistossa.

Pallokoordinaatisto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pallokoordinaatisto on sylinterikoordinaatiston tapaan kolmiulotteisen avaruuden koordinaatisto. Siinä pisteiden ajatellaan sijaitsevan pallopinnalla. Koordinaatit määrittävät säde r, atsimuuttikulma φ sekä korotus- eli elevaatiokulma θ. Kulmat voidaan ilmoittaa radiaaneina tai asteina. Korotuskulma on tavallisesti rajattu välille \scriptstyle -\pi/2 \le \theta \le \pi/2 (tai \scriptstyle -90^\circ \le \theta \le 90^\circ) yksikäsitteisyyden saavuttamiseksi. Muunnoskaavat karteesiseen koordinaatistoon ovat:


\begin{align}
x &= r \sin \theta \cos \phi \\
y &= r \sin \theta \sin \phi \\
z &= r \cos \theta
\end{align}


Vastaavasti käänteismuunnokset karteesisista koordinaateista pallokoordinaatistoon ovat:


\begin{align}
r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\
\theta &= \arctan \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \\
\phi &= \arctan \frac{y}{x}
\end{align}


Maantieteelliset leveys- ja pituusasteet muodostavat pallokoordinaatiston, jossa korotuskulma \scriptstyle \theta vastaa leveys- ja atsimuuttikulma \scriptstyle \phi pituusastetta.

Karttakoordinaatistot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]