Joukko-oppi

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Joukkoja voidaan havainnollistaa ns. Venn-diagrammeilla.

Joukko-oppi on joukkoja tutkiva matematiikan haara. Joukko-opilla voidaan katsoa olevan matematiikalle perustavanlaatuinen merkitys, sillä sen avulla voidaan määritellä erilaiset matemaattiset oliot joukoiksi ja matemaattiset teoriat (kuten analyysin peruslauseet) voidaan katsoa väitteiksi joukoista. Sitä pidetään siis yleismaailmallisena modernin tieteellisen matematiikan esittämismuotona. Nykyisen joukko-opin perustajaksi katsotaan saksalainen matemaatikko Georg Cantor (1845–1918), joka sai ajatuksen tutkiessaan Fourier'n sarjoja. Cantorin työ otettiin aikanaan vastaan hyvin ja ajan merkittävistä matemaatikoista sitä tutki yhteistyössä Cantorin kanssa mm. Richard Dedekind. [1]

Cantor määritteli joukon olevan toisistaan erotettavien objektien (olioiden) yhdistelmä. Intuitiivisesti tämä määritelmä toimii useimmiten edelleen, vaikka joukon formaali määritteleminen osoittautui myöhemmin monimutkaisemmaksi ilmenneiden paradoksien vuoksi. Mm. saksalainen matemaatikko Gottlob Frege pyrki esittämään joukko-opin periaatteet logiikan lakeina, mutta hänen työnsä osoittautui toivottomaksi Russellin paradoksin julkistuksen myötä. Nämä ongelmat johtivat aksiomaattisen joukko-opin kehittämiseen ja ensimmäisen joukko-opin aksiomatisoinnin esitti Ernst Zermelo vuonna 1908. Tätä työtä vahvisti mm. Abraham Fraenkel ja vuoteen 1925 mennessä oli päädytty niin kutsuttuun Zermelo-Fraenkel joukko-oppiin (lyhenne ZF), lisättynä valinta-aksioomalla (ZFC). ZFC:n lisäksi merkittäviä aksiomatisointeja on mm. "Von Neumann-Bernays" (VNB), toiselta nimeltään "Gödel-Bernays" (GB). [1]

Yleiskielessä joukko-opilla viitataan usein 1970-luvun huonomaineiseen koulutuskokeiluun, jossa joukko-oppi tuotiin uutena metodina matematiikan perusteiden kouluopetukseen.

Joukko-opin rakenne[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Joukkoon kuuluvia olioita kutsutaan alkioiksi ja ne voivat olla ihmisen havaintoon tai ajatukseen perustuvia. Oleellista on tietää mistä tahansa objektista kuuluuko se tiettyyn joukkoon vai ei.

Joukon käsite on nykyisin tärkeä kaikilla matematiikan alueilla. Matemaattisesti tärkeimpiä ovat niin sanotut lukujoukot, joiden alkiot ovat lukuja.

Joukot voidaan esittää luettelomuodossa tai tietyn säännön avulla. Lisäksi joukko voi olla äärellinen tai ääretön.

Joukoissa ei alkioiden järjestyksellä ole merkitystä, toisin on esimerkiksi järjestettyjen parien ja lukujonojen tapauksessa.

Joukko-opista puhuttaessa on tarkoitetaan joskus naiivia joukko-oppia, joka on luonteeltaan epäaksiomaattista. Historiallisesti aksiomaattinen joukko-oppi kehittyi naiivista joukko-opista erilaisten paradoksien välttämiseksi. Kuuluisin tällainen paradoksi on Bertrand Russellin esittämä Russellin paradoksi, joka osoitti, ettei joukkoa voi määritellä yksinkertaisesti alkioiden kokoelmaksi.

Joukkoa, jonka alkiot ovat joukkoja, kutsutaan perheeksi tai joukkoperheeksi (tai yksinkertaisesti joukoksi). Esimerkiksi sigma-algebra ja potenssijoukko ovat joukkoperheitä.

Joukko-oppi suomalaisessa kouluopetuksessa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

1950-luvulla Suomessa oli rinnakkaiskoulutusjärjestelmä (kansakoulu ja oppikoulu). Kansakoulussa opetettiin laskentoa ja mittausoppia, oppikoulussa puolestaan matematiikkaa, johon kuului muun muassa algebra ja geometria.[2]

Ns. uutta matematiikkaa ja sen perustana joukko-oppia alettiin opettaa suomalaisissa kouluissa 1970-luvun alussa muutamaa vuotta ennen peruskouluun siirtymistä. Uuden matematiikan liike oli lähtöisin Ranskasta, mistä se levisi nopeasti muualle Eurooppaan ja Yhdysvaltoihin. Uudistusliikkeen tavoitteena oli saada koulumatematiikka mahdollisimman lähelle korkeampaa, tieteellistä matematiikkaa.[3]

Sekä peruskoulu että joukko-oppi rantautuivat Suomeen Ruotsista. Taistelu muutoksen ympärillä oli kiivasta, osittain senkin takia, että yhteiskunta oli tuolloin kaikkein politisoituneimmillaan.[2] Täytäntöönpano oli ripeä. Opettajat koulutettiin joukko-oppiin vain lyhyillä pikakursseilla. Vanhemmista ei ollut apua muutoksen omaksumisessa, sillä heille joukko-oppia ei ollut koskaan opetettu.[2]

Matematiikan opiskelu joukko-opin menetelmällä tarkoitti sitä, että numerot korvattiin opetuksen alkuvaiheessa alkioilla ja joukoilla sekä ynnälasku unioneilla.[2] Luvut ja niillä suoritettavat laskutoimitukset opetettiin myöhemmässä vaiheessa joukko-opin käsitteiden avulla. Muutos näkyi selkeimmin matematiikan kirjojen sisällöissä. Kirjoista tuli kuvapainotteisia.

Joukko-oppi sai runsaasti kritiikkiä. Matematiikan opetuksen aloittamista joukko-opista pidettiin tosin systemaattisesti hyvin perusteltuna, mutta pedagogisessa mielessä kiistanalaisena.[4] Eräässä vaiheessa katsottiin jopa, että tätä menetelmää opetettiin matematiikan avulla eikä toisin päin.[3] Uusi matematiikka miellettiin kokonaisuudessaan liian teoreettiseksi, symboleja ja nimityksiä ylikorostavaksi sekä käytännön elämälle vieraaksi. Oppisisällöt olivat tuntikehykseen verrattuna liian laajat, eikä uusi jaottelu johtanut odotettuihin oppimistuloksiin. Uuden matematiikan kukoistusvaihe kesti vain vuoteen 1976, jolloin Kouluhallitus esitteli matematiikan perusoppiaineen.[3] Joukko-opin käytöstä matematiikan alkeiden opetuksessa luovuttiin virallisesti vuonna 1983.[2]

Lisämääritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Operaatioita:


Joukkoihin liittyviä symboleita

Symboli Miten luetaan? Määritelmä
\in
\notin
a \in A "alkio a kuuluu joukkoon A"

a \notin A "alkio a ei kuulu joukkoon A"

\subset

\subseteq

B \subset A "joukko B on joukon A osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio". Joskus merkitään B \subseteq A.

B \subset A "joukko B on joukon A (aito) osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio (mutta BA)".

B \subset A, kun kaikilla b \in B pätee b \in A,
ts. \forall b \in B: b \in B \Rightarrow b \in A
= A = B "Joukot A ja B ovat samat" A = B jos ja vain jos A \subset B ja B \subset A.
\cup A \cup B "A unioni B", "Joukkojen A ja B yhdiste" A \cup B =\{x \in E | x \in A \vee x \in B\} =
{Joukkojen A ja B kaikkien alkioiden joukko}
(Tässä E on niin sanottu perusjoukko.)
\cap A \cap B "A leikkaus B" A \cap B =\{x \in E | x \in A\ \wedge x \in B\} =
{Joukkojen A ja B yhteiset alkiot}
\ A \ B "A miinus B" A \ B =\{x \in E | x \in A \wedge x \not\in B\} =
{Kaikki ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon A mutta eivät kuulu joukkoon B}
Ac Ac "A:n komplementti" Ac =\{x \in E | x \not\in A\} =
{Kaikki ne alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A}
\mathcal{P}(A) \mathcal{P}(A) "A:n potenssijoukko" \mathcal{P}(A) = {Kaikki A:n osajoukot}

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Herbert B. Enderton: Elements Of Set Theory. Los Angeles, California: Academic Press, 1977. ISBN 0-12-238440-7. (englanniksi)
  2. a b c d e Martti Lyyra: Joukko-opin tie. (asiantuntijana: Prof. Tuomas Sorvali). YLE TV1, 8.10.2007. Viitattu 9.10.2007
  3. a b c Hassinen, Seija: Idealähtöistä koulualgebraa: IDEAA-opetusmallin kehittäminen algebran opetukseen peruskoulun 7. luokalla., s. 51. väitöskirja. Helsingin yliopisto, 2006.
  4. Otavan suuri ensyklopedia, 3. osa (Hasek-Juuri), art. Joukko-oppi, s. 2401, Otava 1977, ISBN 951-1-04350-1

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]