Aksiomaattinen joukko-oppi

Aksiomaattinen joukko-oppi on toinen niistä osista, joihin joukko-oppi tavallisesti jaetaan. Toinen osista on naiivi joukko-oppi. Joukko-opin kehitti 1800-luvun lopulla saksalaisen matemaatikko Georg Cantor matematiikan haaraksi. Se on nykyisen matematiikan perustava osa.

Aksiomaattinen joukko-oppi

Nykyisin eniten tutkittu ja käytetty joukko-opin aksiomaattinen järjestelmä on Zermelo-Fraenkelin aksioomat, lyhenne ZF. Usein aksioomien joukkoon lisätään myös valinta-aksiooma C, jolloin käytetään lyhennettä ZFC. Aksioomia on kymmenen:

1. Samuusaksiomi: Kaksi joukkoa ovat samat jos ja vain jos niillä on samat alkiot.
2. Tyhjän joukon aksiomi: On olemassa alkioton joukko. Merkitsemme tätä tyhjää joukkoa $\{\}$.
3. Pariaksiomi: Jos $x$ ja $y$ ovat joukkoja, niin myös $\{ x , y \}$ on joukko, joka sisältää vain alkiot $x$ ja $y$.
4. Unioniaksiomi: Jokaista joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$, jonka alkiot ovat samat kuin joukon $x$ alkiot.
5. Äärettömyysaksiomi: On olemassa sellainen joukko $x$, että $\{ \}$ on $x$:n alkio ja aina kun $y$ on $x$:n alkio, niin on myös unioni $y \cup \{ y \}$.
6. Separaatioaksiomi (tai osajoukkoaksiomi): Jokaista joukkoa ja jokaista propositiota (ehtoa, relaatiota) $P(x)$ kohti on olemassa sellainen alkuperäisen joukon osajoukko, joka sisältää täsmälleen ne joukon $x$ alkiot, joille $P(x)$ pätee.
7. Korvausaksiomi: Jokaista joukkoa ja kuvausta, joka määritellään formaalisti relaationa $P(x,y)$ missä ehdosta $P(x,y)$ ja $P(x,z)$ seuraa $y = z$, kohti on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat.
8. Potenssijoukkoaksiomi: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$, joka sisältää vain kaikki $x$:n osajoukot.
9. Säännöllisyysaksiomi: Jokainen epätyhjä joukko $x$ sisältää sellaisen alkion $y$, että $x$ ja $y$ ovat erillisiä joukkoja.
10. Valinta-aksiomi: (Zermelon versio) Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$ joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta $x$:n alkiosta.