Abstrakti algebra

Ryhmädiagrammi. Ryhmäteoria on osa abstraktia algebraa

Abstrakti algebra on matematiikan osa-alue joka tutkii algebrallisia rakenteita kuten ryhmiä, renkaita ja kuntia.

Historiaa ja esimerkkejä

Historiallisesti algebralliset rakenteet ovat usein esiintyneet ensimmäistä kertaa matematiikassa muualla kuin itse abstraktissa algebrassa. Kun uusi käsite on todettu hyödylliseksi erottaa alkuperäisestä asiayhteydestään, se on voitu aksiomatisoida ja sitä on voitu tutkia abstraktin algebran keinoin. Tämän vuoksi abstraktilla algebralla on monia yhteyksiä muihin matematiikan osa-alueisiin.

Esimerkkejä algebrallisista rakenteista joissa on annettu yksi laskutoimitus:

• magmat
• monoidit
• puoliryhmät
• ryhmät.

Monipuolisempia algebrallisia rakenteita:

• renkaat ja kunnat
• moduulit ja vektoriavaruudet
• assosiatiiviset algebrat ja Lien algebrat
• lattiisit ja Boolen algebrat

Kaikki yllä olevat esimerkit muodostavat yhdessä kunkin algebrallisen rakenteen homomorfismien kanssa kategorian, ja kategoriateoria antaa mahdollisuuden vertailla erilaisia algebrallisia rakenteita.