Vektoriavaruus

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Vektoriavaruus eli lineaariavaruus on matemaattinen struktuuri, joka on lineaarialgebran peruskäsite. Niitä käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruutta ajatellaan joukkona, johon on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja ns. skalaarilla kertominen. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon \mathbb{K} kunta (ns. kerroinkunta), V joukko ja kuvaukset f : V \times V \rightarrow V ja g : \mathbb{K} \times V \rightarrow V. Määrittelemme, että kolmikko (V,f,g) on vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) jos ja vain jos kuvaukset f ja g toteuttavat ehdot

  1. Kuvaus f on vaihdannainen:

    f(\mathbf{u},\mathbf{v}) = f(\mathbf{v},\mathbf{u}) kaikilla  \mathbf{u},\mathbf{v} \in V.

  2. Kuvaus f on liitännäinen:

    f(f(\mathbf{u},\mathbf{v}),\mathbf{w}) = f(\mathbf{u},f(\mathbf{v},\mathbf{w})) kaikilla  \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in V.

  3. Kuvauksen f nollavektori:

    On olemassa \bar{0} \in V, jolle f(\bar{0},\mathbf{u}) = f(\mathbf{u},\bar{0}) = \mathbf{u} kaikilla  \mathbf{u} \in V.

  4. Vektorin vastavektori:

    Jokaiselle \mathbf{u} \in V on olemassa -\mathbf{u} \in V, jolle f(-\mathbf{u},\mathbf{u}) = f(\mathbf{u},-\mathbf{u}) = \bar{0}.

  5. Neutraalialkio:

    Kunnan \mathbb{K} neutraalialkiolle 1 pätee g(1,\mathbf{u}) = \mathbf{u} kaikilla  \mathbf{u} \in V.

  6. Osittelulaki:

    g(a,f(\mathbf{u},\mathbf{v})) = f(g(a,\mathbf{u}),g(a,\mathbf{v})) kaikilla  a \in \mathbb{K} ja  \mathbf{u},\mathbf{v} \in V.

  7. Skalaarien summan osittelu:

    g(a+b,\mathbf{u}) = f(g(a,\mathbf{u}),g(b,\mathbf{u})) kaikilla  a,b \in \mathbb{K} ja  \mathbf{u} \in V.

  8. Skalaarien tulon osittelu:

    g(a,g(b,\mathbf{u})) = g(ab,\mathbf{u}) kaikilla  a,b \in \mathbb{K} ja  \mathbf{u} \in V.

Vektoriavaruuden kuvausta f kutsutaan vektoreiden yhteenlaskuksi ja g skalaarilla kertomiseksi. Ne ovat oletusten nojalla binäärioperaatioita joukossa V. Yleisesti näille binäärioperaatioille käytetään lineaariavaruuksissa merkintöjä

f(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \mathbf{u} + \mathbf{v} kaikilla \mathbf{u},\mathbf{v} \in V ja g(a,\mathbf{u}) = a\mathbf{u} kaikilla a \in \mathbb{K} ja \mathbf{u} \in V.

Vektoriavaruus on erikoistapaus modulista. Toisin kuin moduleilla, jokaisella epätriviaalilla vektoriavaruudella on kanta, eli joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita, joiden lineaarikombinaationa jokainen avaruuden vektori voidaan ilmaista. Usein sovitaan, että tyhjä joukko on triviaalin vektoriavaruuden kanta. Vektoriavaruus on äärellisulotteinen, jos sillä on kanta, jossa on äärellinen määrä vektoreita. Muussa tapauksessa vektoriavaruus on ääretönulotteinen. Vektoriavaruuden kanta voidaan yleensä valita äärettömän monella eri tavalla, mutta valinnasta riippumatta äärellisulotteisen vektoriavaruuden kannassa on aina yhtä monta vektoria. Myös ääretönulotteisen vektoriavaruuden eri kannat ovat keskenään yhtä mahtavia. Kannan olemassaolo voidaan todistaa Zornin lemman avulla ja yhtämahtavuus ultrafiltterilemman avulla.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kannattaa huomata, että vektoriavaruuden alkiot eivät välttämättä ole järjestettyjä lukujoukkoja, joiksi vektorit usein mielletään, kuten myöskään kerroinkunnan alkiot eivät välttämättä ole lukuja. Vektoriavaruuden alkioina voivat "tavallisten" vektorien sijaan olla yhtä hyvin matriisit tai jopa funktiot. Eräs vektoriavaruus, ns. triviaali vektoriavaruus, on vain nolla-alkiosta koostuva joukko {0}. Tärkeimpia vektoriavaruuksia matematiikassa ovat

Tosin riippuen tapauksesta on myös yleistä käyttää edelläolevissa esimerkeissä skalaarikuntana kompleksilukuja.

Vektorialiavaruus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vektoriavaruuden (V,f,g) osajoukkoa A kutsutaan aliavaruudeksi jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

  1. Joukko A on suljettu yhteenlaskun suhteen:

    f(\mathbf{u},\mathbf{v}) \in A kaikilla \mathbf{u},\mathbf{v} \in A

  2. Joukko A on suljettu skalaarilla kertomisen suhteen:

    g(a,\mathbf{u}) \in A kaikilla a \in \mathbb{K} ja \mathbf{u} \in A.

Esimerkiksi vektoriavaruuden \mathbb{R}^2 aliavaruus on mikä tahansa origon kautta kulkeva suora. Lisäksi esimerkiksi jonoavaruuden \ell^p eräs aliavaruus on nollaan suppenevien jonojen joukko.

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vektoriavaruuksiin voidaan liittää lisärakenteena esimerkiksi normi tai sisätulo. Näiden avulla voimme määritellä mm. topologisen struktuurin vektoriavaruuksiin. Topologisista vektoriavaruuksista enemmän artikkeleissa normiavaruus ja sisätuloavaruus.