Lineaarikombinaatio

Määritelmä

Olkoon K kunta ja V K kertoiminen vektoriavaruus K. Tällöin V:n alkioita nimitetään vektoreiksi ja K:n alkioita skalaareiksi. Jos v₁,...,v_n ovat V:n vektoreita ja a₁,...,a_n$\in K$ ovat skalaareita, on näiden vektoreiden lineaarikombinaatio muotoa

$a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n \,$

Tilanteesta riippuen K ja V voidaan antaa eksplisiittisesti tai ne voidaan olettaa asiayhteydestä tunnetuksi. Jos kerroinkunta tiedetään, voidaan puhua yleisesti vektoreiden v₁,...,v_n lineaarikombinaatiosta. Jos toisaalta S on V:n osajoukko, voi käsite lineaarikombinaatio tarkoittaa sitä, että vektorit kuuluvat joko S:ään tai V:hen. Selkeyden vuoksi on tällöin mainittava kumpaa joukkoa tarkoitetaan.

Määritelmän mukaan lineaarikombinaatiossa on otettuna mukaan vain äärellisen monta vektoria. Itse vektoriavaruus V voi toki sisältää äärettömän monta vektoria, mutta niistä on valittava vain äärellisen monta, mikäli halutaan puhua lineaarikombinaatiosta.

Esimerkki

Olkoon x ja y lineaarisesti riippumattomia $\mathbb{R}^2$:n vektoreita. Tällöin $ax + by,$ missä $a,b\in\mathbb{R}$, kattavat kaikki 2-ulotteisen reaaliavaruuden pisteet. Toisaalta kaikki reaalikertoimiset vektoreiden x ja y lineaarikombinaatiot ovat tätä muotoa.