Lineaarikombinaatio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lineaarikombinaatio on matematiikassa lause, jossa joukko termejä kerrotaan kukin omalla kertoimellaan ja lasketaan yhteen.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon K kunta ja V K kertoiminen vektoriavaruus K. Tällöin V:n alkioita nimitetään vektoreiksi ja K:n alkioita skalaareiksi. Jos v1,...,vn ovat V:n vektoreita ja a1,...,an\in K ovat skalaareita, on näiden vektoreiden lineaarikombinaatio muotoa

a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n \,

Tilanteesta riippuen K ja V voidaan antaa eksplisiittisesti tai ne voidaan olettaa asiayhteydestä tunnetuksi. Jos kerroinkunta tiedetään, voidaan puhua yleisesti vektoreiden v1,...,vn lineaarikombinaatiosta. Jos toisaalta S on V:n osajoukko, voi käsite lineaarikombinaatio tarkoittaa sitä, että vektorit kuuluvat joko S:ään tai V:hen. Selkeyden vuoksi on tällöin mainittava kumpaa joukkoa tarkoitetaan.

Määritelmän mukaan lineaarikombinaatiossa on otettuna mukaan vain äärellisen monta vektoria. Itse vektoriavaruus V voi toki sisältää äärettömän monta vektoria, mutta niistä on valittava vain äärellisen monta, mikäli halutaan puhua lineaarikombinaatiosta.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon x ja y lineaarisesti riippumattomia \mathbb{R}^2:n vektoreita. Tällöin ax + by, missä a,b\in\mathbb{R}, kattavat kaikki 2-ulotteisen reaaliavaruuden pisteet. Toisaalta kaikki reaalikertoimiset vektoreiden x ja y lineaarikombinaatiot ovat tätä muotoa.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.