Topologinen avaruus

Wikipedia

Topologiset avaruudet ovat yksinkertaisimpia matemaattisia rakenteita, joissa voidaan määritellä sellaisia käsitteitä kuin avoimuus, jatkuvuus, homeomorfisuus ja yhtenäisyys.

[muokkaa] Määritelmä

Topologinen avaruus on järjestetty pari (X,T), missä X on joukko ja T on sellainen sen osajoukkojen kokoelma (ns. topologia), jonka jäseniä ovat

1. tyhjä joukko ja joukko X itse,
2. kaikki sen alkioiden mielivaltaiset yhdisteet,
3. kaikki sen alkioiden äärelliset leikkaukset,

ts. T toteuttaa topologiset aksioomat

1. 
2. 
3. .

[muokkaa] Topologiseen avaruuteen liittyviä käsitteitä

Kokoelmaan T kuuluvia joukkoja sanotaan topologisen avaruuden avoimiksi joukoiksi. Joukot, joiden komplementti X:ssä on avoin, ovat suljettuja joukkoja. Topologisen avaruuden alkioita sanotaan yleensä pisteiksi.

Jokaisessa topologisessa avaruudessa joukko X ja tyhjä joukko ovat sekä avoimia että suljettuja. Jos näin ei ole laita minkään muun X:n osajoukon, sanotaan avaruutta X yhtenäiseksi.

Jos topologisen avaruuden mitä tahansa kahta eri pistettä a ja b kohti on olemassa sellaiset avoimet joukot A ja B, että

ja

ts. pisteille a ja b löytyy aina erilliset ympäristöt, sanotaan avaruutta Hausdorffin avaruudeksi.

[muokkaa] Esimerkkejä

Mistä tahansa joukosta X voidaan muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan T kuuluviksi ainoastaan joukko X ja tyhjä joukko. Tällainen topologinen avaruus ei ole Hausdorffin avaruus, paitsi jos joukkoon X kuuluu vain yksi piste.

Mistä tahansa joukosta X voidaan myös muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan T kuuluviksi X:n kaikki osajoukot. Tällöin kyseessä on niin sanottu diskreettitopologia, ja muodostettu avaruus on Hausdorffin avaruus.

Jokaisesta metrisestä avaruudesta voidaan muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan T kuuluviksi eli avoimiksi joukoiksi sellaiset X:n osajoukot, joiden jokaisella pisteellä on tähän osajoukkoon sisältyvä ympäristö. Tällaiset topologiset avaruudet ovat aina Hausdorffin avaruuksia.

Sovellusten kannalta tärkeimpiä metrisiä avaruuksia ovat joukot (eriulotteiset euklidiset avaruudet) ja niiden osajoukot, joissa topologia on edellä sanotulla tavalla määritelty euklidisen metriikan avulla. Tästä yleistys on Hilbertin avaruus, joka on (mahdollisesti ääretönulotteinen) täydellinen sisätuloavaruus.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia. Voit auttaa laajentamaan myös muita samankaltaisia artikkeleita.