Topologinen avaruus

Neljä esimerkkiä ja kaksi epäesimerkkiä joukon {1,2,3} topologioista. Alhaalla vasemmalla ei ole topologia, koska joukkojen {2} ja {3} unioni {2,3} puuttuu; vastaavasti alarivissä oikealla puuttuu joukkojen {1,2} ja {2,3} leikkaus {2}.

Topologiset avaruudet ovat yksinkertaisimpia matemaattisia rakenteita, joissa voidaan määritellä sellaisia käsitteitä kuin avoimuus, jatkuvuus, homeomorfisuus ja yhtenäisyys.

Määritelmä

Topologinen avaruus on järjestetty pari $(X, T)$, missä $X$ on joukko ja $T$ on sellainen sen osajoukkojen kokoelma (ns. topologia), jonka jäseniä ovat

1. tyhjä joukko ja joukko $X$ itse,
2. kaikki sen alkioiden mielivaltaiset yhdisteet,
3. kaikki sen alkioiden äärelliset leikkaukset,

ts. $T$ toteuttaa topologiset aksioomat

1. $\emptyset \in T, X \in T$
2. $\{A_i : i\in I\}\subset T \Rightarrow \bigcup_{i\in I} A_i \in T$
3. $A, B \in T \Rightarrow A \cap B \in T$.

Käytännössä yleensä tutkitaan äärettömiä topologioita. Äärellinen topologia voi olla helpommin ymmärrettävä esimerkki joistakin topologian peruskäsitteistä, mutta toiset käsitteet ovat mielekkäitä vain äärettömissä joukoissa. Äärettömään joukkoonkin voidaan määrittää topologia, jossa on äärellinen määrä alkioita (esimerkiksi koko $\mathbb{R}$, tyhjä joukko ja vain luvun 1 sisältävä joukko muodostavat topologian reaalilukujen joukolle), mutta käytännön merkitystä niillä ei juuri ole.

Topologian ei tarvitse sisältää alkioidensa mielivaltaisia leikkauksia, ainostaan äärelliset. Esimerkki: Määritellään joukon N kofiniittinen topologia: siihen kuuluu tyhjä joukko ja jokainen joukko, jonka komplementti on äärellinen. Joukko $\{2,3,...,n\}$ on selvästi äärellinen, jolloin sen komplementtijoukko $\{1\} \cup \{n, n+1, n+2...\}$ kuuluu mainittuun topologiaan. Kaikkien näiden joukkojen leikkaus puolestaan on joukko ${1}$, joka on äärellinen, eikä siis kuulu mainittuun topologiaan.

Topologiseen avaruuteen liittyviä käsitteitä

Osa käsitteistä pohjautuu reaaliluvuille määriteltyyn topologiaan, johon kuuluvat avoimet välit ja niiden yhdistelmät. Esimerkiksi $[-\infty, 0[$ ja $]1, \infty]$ ovat avoimia välejä, niiden komplementti $[0, 1]$ suljettu väli.

Topologisen avaruuden alkioita sanotaan yleensä pisteiksi.

Kokoelmaan $T$ kuuluvia joukkoja sanotaan topologisen avaruuden avoimiksi joukoiksi. Joukot, joiden komplementti X:ssä on avoin, ovat suljettuja joukkoja. Termit ovat epäintuitiivisia: joukko voi olla avoin, suljettu, ei kumpaakaan tai molempia. Esimerkiksi edellämainitussa reaalilukujen tavallisessa topologiassa joukko $]0,1]$ ei ole avoin eikä suljettu. Jokaisessa topologisessa avaruudessa ainakin koko joukko $X$ ja tyhjä joukko ovat sekä avoimia että suljettuja.

Jos joukon pisteitä ei voi jakaa kahteen erilliseen avoimeen joukkoon, joukkoa sanotaan yhtenäiseksi. Jos näin on kaikkien pisteiden suhteen, koko avaruus on yhtenäinen.

Jos topologisen avaruuden mitä tahansa kahta eri pistettä $a$ ja $b$ kohti on olemassa sellaiset avoimet joukot $A$ ja $B$, että

$a \in A, b \in B$ ja $A \cap B = \emptyset$

ts. pisteille $a$ ja $b$ löytyy aina erilliset ympäristöt, sanotaan avaruutta Hausdorffin avaruudeksi.

Kantapisteavaruus on topologinen avaruus, jossa yksi piste, kantapiste, on asetettu erikoisasemaan.

Avaruuksien luokittelua

Havainnollistus erotteluaksioomista.

Avaruus on $T_0$, jos jokaiselle pisteparille $x,y$ löytyy avoin joukko, johon joko $x$ kuuluu mutta $y$ ei, tai toisinpäin.

Avaruus on $T_1$, jos jokaiselle pisteparille $x,y$ löytyy sekä avoin joukko, johon $x$ kuuluu mutta $y$ ei, että avoin joukko johon $y$ kuuluu mutta $x$ ei. Nämä avoimet joukot saavat sisältää yhteisiä pisteitä.

Avaruus on $T_2$ eli Hausdorffin avaruus, jos jokaiselle pisteparille $x,y$ löytyy sekä avoin joukko, johon $x$ kuuluu mutta $y$ ei, että avoin joukko johon $y$ kuuluu mutta $x$ ei, ja näillä avoimilla joukoilla ei ole yhteisiä pisteitä.

Luonnollisten lukujen topologia, joka sisältää tyhjän joukon ja koko joukon lisäksi vain parilliset ja parittomat luvut avoimina joukkoina, ei ole $T_0$. Luonnollisten lukujen alkusegmenttitopologia, jossa avoimia ovat joukot $\{0,1,...,n\}$ kaikilla termin $n$ arvoilla on $T_0$ mutta ei $T_1$. Luonnollisten lukujen kofiniittinen topologia on $T_1$ mutta ei $T_2$. Tyyppiesimerkki $T_2$-topologiasta on reaalilukujen tavallinen topologia, jossa avoimia ovat avoimet välit ja niiden unionit.

Esimerkkejä

Mistä tahansa joukosta $X$ voidaan muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan $T$ kuuluviksi ainoastaan joukko $X$ ja tyhjä joukko. Tällainen topologinen avaruus ei ole Hausdorffin avaruus, paitsi jos joukkoon $X$ kuuluu vain yksi piste. Tällaista topologiaa sanotaan minitopologiaksi.

Mistä tahansa joukosta $X$ voidaan myös muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan $T$ kuuluviksi $X$:n kaikki osajoukot. Tällöin kyseessä on niin sanottu diskreettitopologia, ja muodostettu avaruus on Hausdorffin avaruus.

Jokaisesta metrisestä avaruudesta voidaan muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan $T$ kuuluviksi eli avoimiksi joukoiksi sellaiset $X$:n osajoukot, joiden jokaisella pisteellä on tähän osajoukkoon sisältyvä ympäristö. Tällaiset topologiset avaruudet ovat aina Hausdorffin avaruuksia.

Sovellusten kannalta tärkeimpiä metrisiä avaruuksia ovat joukot $\R^n$ (eriulotteiset euklidiset avaruudet) ja niiden osajoukot, joissa topologia on edellä sanotulla tavalla määritelty euklidisen metriikan avulla. Tästä yleistys on Hilbertin avaruus, joka on (mahdollisesti ääretönulotteinen) täydellinen sisätuloavaruus.

Katso myös

• Monisto