Kofiniittinen topologia

Kofiniittinen topologia

Kofiniittinen topologia on topologia, johon kuuluu avoimina joukkoina vain tyhjä joukko ja joukot, joiden komplementti on äärellinen; kääntäen siis ainoat suljetut joukot ovat äärelliset joukot ja koko joukko. Symbolisesti se esitetään

$\mathcal{T} = \{A \subseteq X \mid A=\varnothing \mbox{ tai } X \setminus A \mbox{ on äärellinen} \}$

Esimerkiksi luonnollisten lukujen kofiniittisessä topologiassa mm. joukot "suurempi kuin kolme" ja "erisuuri kuin 7 tai 8" ovat avoimia. Avoimia eivät ole kaikki äärettömät joukot: "parilliset luvut" ei ole avoin, koska sen komplementti eli parittomat luvut ei ole äärellinen.

Teknisesti jokaiselle joukolle voidaan määritellä kofiniittinen topologia. Äärellisen joukon tapauksessa tuloksena on käytännössä mielenkiinnoton diskreetti topologia.

Ominaisuuksia

• Aliavaruudet: Kofiniittisen topologisen avaruuden aliavaruus on aina kofiniittinen.
• Kompaktius: Kofiniittinen topologia on kompakti.
• Erotteluaksioomat: Kofiniittinen topologia on karkein $T_1$-topologia. $T_2$-topologia se on vain, jos joukko on äärellinen.