Jatkuva funktio

Funktio, joka ei ole jatkuva (epäjatkuva funktio) yhdessä kohdassa. Kohtaa, jossa jatkuvuutta ei ole, kutsutaan epäjatkuvuuskohdaksi.

Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin sileä ja kaareva eikä se katkea missään kohdassa. On kuitenkin tapauksia, jossa funktio on jatkuva vaikka kuvaajan ulkonäkö on poikkeava. Jatkuvuuden tarkempi määrittäminen vaatiikin matemaattisempia käsitteitä. Funktion jatkuvuus voidaan määritellä usealla eri tavalla, riippuen siitä miten yleisellä tasolla funktioita halutaan tarkastella.

Yhden reaalimuuttujan tapaus

Funktio $f:\R \rightarrow \R$ on jatkuva pisteessä $a$, jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä $a$, on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:

$\lim_{x \to \ a-}f(x) = \lim_{x \to \ a+}f(x) = f(a)$.

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.

Esimerkkejä

• Funktio $f(x)=\frac{1}{x}$ on määritelty, kun $x\neq 0$. Funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan, mutta ei kohdassa $x=0$.
• Funktio $f(x)=|x|$ on kaikkialla jatkuva, mutta se ei ole derivoituva kohdassa $x=0$.

Jatkuvuus metrisissä avaruuksissa

Olkoot $(X,d)$ ja $(Y,d')$ metrisiä avaruuksia. Funktio $f: X \rightarrow Y$ on jatkuva pisteessä $x \in X$ (metriikoiden $d$ ja $d'$ suhteen), jos jokaista positiivilukua $\varepsilon$ kohti on olemassa positiiviluku $\delta$ siten, että $d'(f(x),f(z))<\varepsilon$ aina kun $d(x,z)<\delta$. Muodollisesti ilmaistuna funktio $f$ on jatkuva pisteessä $x$, jos

$\forall\ \varepsilon>0\ \exists\ \delta>0:\ d(x,z)<\delta \Rightarrow d'(f(x),f(z))<\varepsilon.$

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa joukon $X$ pisteessä. Kun tarkastellaan joukkoja $X$ ja $Y$ topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden $d$ ja $d'$ indusoimia, niin yllä esitetyt määritelmät yhtyvät.

Jatkuvuus topologisissa avaruuksissa

Funktio $f:X \rightarrow Y$, missä $X$ ja $Y$ ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä $a \in X$, jos ja vain jos jokaista pisteen $f(a) \in Y$ ympäristöä $V$ kohti on olemassa pisteen $a$ ympäristö $U$ siten, että $f(U) \subset V$. Funktio $f$ on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa avaruuden $X$ pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio $f$ on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen $Y$ avoimen joukon $V$ alkukuva $f^{-1}(V)$ on avoin avaruudessa $X$.

Lähteitä

• Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)