Jatkuva funktio

Funktio, joka ei ole jatkuva (epäjatkuva funktio)

Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Funktion jatkuvuus voidaan määritellä usealla eri tavalla, riippuen siitä miten yleisellä tasolla funktioita halutaan tarkastella.

Jatkuvuus topologisissa avaruuksissa

Funktio $f:X \rightarrow Y$, missä $X$ ja $Y$ ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä $a \in X$ tarkalleen silloin, kun jokaista pisteen $f(a) \in Y$ ympäristöä $V$ kohti on olemassa $a$:n ympäristö $U$ siten, että $fU \subset V$. Funktio $f$ on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa $X$:n pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio $f$ on jatkuva jos ja vain jos jokaisen $Y$ avoimen joukon $V$ alkukuva $f^{-1}V$ on avoin $X$:ssä.

Jatkuvuus metrisissä avaruuksissa

Olkoon $(X,d)$ ja $(Y,d')$ metrisiä avaruuksia. Funktio $f: X \rightarrow Y$ on jatkuva pisteessä $x \in X$ (metriikoiden $d$ ja $d'$ suhteen), jos jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa positiiviluku δ siten, että $d'(f(x),f(z)) < \epsilon$ aina kun $d(x,z) < \delta$. Formaalisti, $f$ on jatkuva pisteessä $x$ jos

∀ ε > 0 ∃ δ >0; d(x,z) < δ ⇒ d'(f(x),f(z)) < ε.

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa $X$:n pisteessä.

Kun tarkastellaan joukkoja $X$ ja $Y$ topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden $d$ ja $d'$ indusoimia, yllä esitetyt määritelmät yhtyvät.

Yhden reaalimuuttujan tapaus

Funktio $f:\R \rightarrow \R$ on jatkuva pisteessä $a$, jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä $a$, on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:

$\lim_{x \to \ a-}f(x) = \lim_{x \to \ a+}f(x) = f(a)$.

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia.

Funktion jatkuvuus on välttämätön mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle, ts. derivoituva funktio on aina jatkuva.