Monisto

Pallon pinta on kaksiulotteinen monisto, koska se voidaan esittää kaksiulotteisilla kartoilla.

Matematiikassa monisto on topologinen avaruus, joka näyttää lokaalisti euklidiselta avaruudelta $\R^n$.

Määritelmä

Sanomme, että topologinen avaruus on n-monisto, jos

• avaruuden topologialla on numeroituva kanta,

• avaruus on Hausdorffin avaruus ja

• avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden $\R^n$ kanssa.

Lokaali homeomorfisuus avaruuden $\R^n$ kanssa tarkoittaa sitä, että jokaisella n-moniston pisteellä on jokin ympäristö, joka on homeomorfinen avaruuden $\R^n$ kanssa. Koska itse avaruus $\R^n$ on homeomorfinen minkä tahansa avaruuden $\R^n$ avoimen pallon kanssa, voidaan ehto 3. korvata yhtäpitävällä ehdolla: avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden $\R^n$ avoimen pallon kanssa.

Moniston käsitteeseen on päädytty tutkimalla käyriä ja pintoja. Käyrät ovat 1-monistoja, pinnat 2-monistoja.

Esimerkkejä

• Selvin esimerkki 1-monistosta on reaaliakseli. Tämän topologian (eli itseisarvometriikan määräämän metriikan antaman topologian) erän numeroituva kanta koostuu avoimista väleistä, joiden päätepisteet ovat rationaalilukuja. Reaaliakseli on myös separoituva, sillä itse rationaaliluvut muodostavat tiheän reaaliakselin osajoukon ja rationaaliluvut muodostavat numeroituvan joukon. Lopuksi vielä avaruus on lokaalisti homeomorfinen itsensä kanssa, sillä se on homeomorfinen itsensä kanssa.

• Yleisemmin avaruus $\R^n$ on n-monisto.

• Pallokuori $\mathbb{S}^{n-1}$ on yksinkertainen esimerkki ei-triviaalista monistosta. Se on n-1-monisto jos topologia peritään avaruuden $\R^n$ tavallisesta topologiasta.

Kartat ja sileät monistot

Analyysin tarpeisiin monistoon voidaan liittää lisäominaisuuksia: topologinen avaruus $(X,T)$ peitetään osittain päällekkäisillä kuvauksilla $h_i:T \rightarrow R^n$, kartoilla. Kartat liittävät monistoon jatkuvuuden ja differentioituvuuden käsitteet. Jos kaikki kartanvaihtokuvaukset $h_j \circ h_i^{-1}$ ovat jatkuvia tai $n$ kertaa derivoituvia, niin puhutaan jatkuvasta ($C^0$) tai differentioituvasta monistosta ($C^n$). Monistoa, jonka kartanvaihtokuvaukset ovat $C^\infty$-differentioituvia, kutsutaan sileäksi monistoksi. Kartat, joiden vaihtokuvaukset toteuttavat tällaisen ehdon, muodostavat ekvivalenssiluokan jota kutsutaan differentioituvaksi struktuuriksi $D$. Täsmällisesti määriteltynä differentioituva monisto on pari $M=(T,D)$, missä $T$ on topologinen avaruus ja $D$ differentioituva struktuuri.