Monisto

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Pallon pinta on kaksiulotteinen monisto, koska se voidaan esittää kaksiulotteisilla kartoilla.

Matematiikassa monisto on topologinen avaruus, joka näyttää lokaalisti euklidiselta avaruudelta \R^n.[1] Yksinkertaisia esimerkkejä monistoista ovat \R^n, yksikköpallo S^n ja erinäiset sileät pinnat.

Monistot ovat kenties yksinkertaisimpia ja parhaiten tunnettuja konsepteja geometriassa ja topologiassa. Niiden lokaali topologia on triviaali, mikä tekee niiden tutkimisesta yksinkertaisempaa. Toisaalta niiden globaali geometria voi olla hyvinkin monimutkainen. Fysiikassa ja matematiikassa monet luonnolliset objektit, kuten symmetriaryhmät ja aika-avaruus, mallinetaan monistoilla. Differentiaaligeometriassa monistoon liitetään differentioituva struktuuri ja niin sitä voidaan tutkia analyysin menetelmin.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Historiallisesti monistojen tutkiminen edelsi matematiikan täsmällistämistä. Vanhoja geometrian lähteitä tarkasteltaessa on siis huomioitava, että esimerkiksi käsitteet joukko-oppi, funktio, jatkuvuus, topologia jne. eivät olleet määriteltyjä. Esimerkiksi Riemann, Gauss ja Poincarè määrittelivät monistot yhtälöryhmien ratkaisuina, mitkä nykyään olisivat nk. alimonistoja. Tämä näkyy vanhoissa differentiaaligeometrian kirjoissa (esim. [2]). Klassiset monistot olivat usein polynomisten yhtälöiden ratkaisuja ja niin ollen n.k. algebrallisia varistoja, joita tutkitaan algebrallisessa geometriassa. Vanhin lähde, jonka määritelmä vastaa jokseenkin modernin moniston käsitettä, on Whiteheadin ja Veblen kirjasta vuodelta 1936 [3]. Myöhemmin Whitney osoitti, että monet aikaisemmat määritelmät olivat ekvivalentteja Whiteheadin ja Veblenin määritelmän kanssa [4]. Historiallisesta epätäsmällisyydestä seurasi, että useita vanhoja lauseita on jouduttu todistamaan uudelleen ja tarkentamaan niissä esiintyviä oletuksia.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Riippuen siitä paljonko stuktuuria monistolta oletetaan, saadaan eri luokkia monistoista, joilla kullakin on oma teoriansa.

Topologinen monisto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sanomme, että topologinen avaruus on topologinen n-monisto, jos


  • avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden \R^n kanssa.[5]


Lokaali homeomorfisuus avaruuden \R^n kanssa tarkoittaa sitä, että jokaisella n-moniston pisteellä on jokin ympäristö, joka on homeomorfinen avaruuden \R^n kanssa.[5] Koska itse avaruus \R^n on homeomorfinen minkä tahansa avaruuden \R^n avoimen pallon kanssa, voidaan ehto 3. korvata yhtäpitävällä ehdolla: avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden \R^n avoimen pallon kanssa.

Toinen ekvivalentti tapa määritellä topologinen monisto juontaa Whiteheadilta ja Vebeniltä [3]. Oletetaan että M on joukko. Määritellään joukon M topologisen moniston struktuuriksi laskennallinen joukko X:n alijoukkoja U_i, missä i \in \N, ja bijektiivisiä kuvauksia f_i:U_i \to \R^n, jotka toteuttavat seuraavat kolme aksioomaa.

  • Joukot  f_i(U_j \cap U_i) \subset \R^n ovat avoimia kaikille i,j \in \N. Huomioi, että tyhjä joukko on määritely avoimeksi.


  • Kuvaukset ovat yhteensopivia: f_j \circ f_i^{-1}: f_i(U_j \cap U_i) \to \R^n ovat jatkuvia kaikille $i,j \in \N$.


  • Joukot U_i muodostavat joukon X peitteen, eli \cup_{i \in \N} U_i = X.


Sanomme, että funktiot f_i ovat koordinaatti funktioita, ja että joukot U_i muodostavat kartaston. Kuvauksia f_j \circ f_i^{-1} sanomme koordinaattimuunnoksiksi. Kuvaukset f_i indusoivat M:lle topologian, joka on numeroituva Hausdorffin avaruus [5]. Kokonaislukua n \in \N edellisessä määritelmässä kutsutaan moniston ulottuvuudeksi, ja se on yksinkertaisin topologinen invariantti monistolle.

Tämä määritelmä on kätevä, koska se yleistyy helposti moniin muihin struktuureihin. Keskeistä tässä on jatkuvien kuvausten f: A \to \R^n kokoelma, missä A,B \subset \R^n ovat avoimia. Jatkuvia kuvauksia voi yhdistää, jos niiden arvo- ja määrittelyjoukot ovat yhteensopivia. Näin saadaan n.k. semiryhmä. Ks. esimerkiksi [6]. Valitettavasti koordinaattifunktiot ja kartastot eivät ole yksikäsitteisiä; samalle monistolle voi antaa eri kokoelman kordinaattifunktioita. Mutta jokainen kartasto indusoi topologian, ja jos kaksi kartastoa indusoi saman topologian, niin molemmat struktuurit ovat ekvivalentteja. Sanomme siis, että topologiset monistot ovat ekvivalentteja, jos ne ovat homeomorfisia topologisina avaruuksina.

Sileä ja differentioituva monisto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sanomme, että M on sileä monisto, jos sille on valittu kartasto (U_i,f_i) (ks. yllä), joille oletamme, että


  • Koordinaattimuunnokset f_j \circ f_i^{-1}: f_i(U_j \cap U_i) \to \R^n ovat sileitä (äärettömästi jatkuvasti derivoituvia).


Sanomme, että monisto on luokassa C^k tai C^{k,\alpha}, jos koordinaattimuunnokset kuuluvat kyseiseen luokkaan funktioina. Ensimmäisessä tapauksessa voimme myös sanoa, että monisto on k-kertaa derivoituva.

Vaikka topologisille monistoille kartaston valinta ei aiheuttanut ongelmia, niin sileille ja differentioituville monistoille on asia toisin. Näin ollen, vaikkei niin usein eksplisiittisesti tehdä, on pidettävä mielessä että kullekin monistolle on valittu jokin kartasto. Määritelläksemme ekvivalentit sileät monistot tarvitsemme sileän kuvauksen käsitteen. Olkoon M,N sileitä monistoja, joille olemme valinneet kartastot (U_i,f_i) ja (V_j,g_j), vastaavasti. Määrittelemme, että jatkuva kuvaus h: M \to N on sileä (tai esim. C^k), jos


  • kaikille i,j \in \N kuvaukset  g_j \circ h \circ f_i : (f_i \circ h)^{-1}(U_j) \to \R^n ovat sileitä.


Vastaavasti määrittelemme C^k-kuvaukset ja kaikki muut vastaavat funktioluokat. Jos kuvaus h on bijektiivinen ja sen käänteiskuvaus h^{-1} on myös sileä, niin sanomme että monistot ovat diffeomorfisia (eli tietyssä mielessä ekvivalentteja).

Mielenkiintoinen kysymys on, että voiko samalla topolisella monistolla olla eri sileitä kartastoja, jotka eivät ole keskenään diffeomorfisia. Vastaus on kyllä, minkä osoitti matemaattisen yhteisön suureksi yllätykseksi [7]. Milnor konstruoi sileän moniston, joka on homeomorfinen 7-ulotteisen pallon kanssa, mutta joka ei ole diffeomorfinen sen kanssa. Myöhemmin on löydetty suuri määrä muita esimerkkejä. Tällaista tulosta ei pystytty edes kuvittelemaan ennen täsmällistä moniston määritelmää. Maininnan arvoista on, että tätä ongelmaa ei esiinny yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa, jolloin topologiselle monistolle voi antaa vain yhden sileän struktuurin, diffeomorfismia vaille. Tämä on seurausta uniformisaatioteoreemasta [8].

Riemannin pinta ja kompleksiset monistot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuten edellä, sanomme, että sileä monisto M on kompleksinen monisto, jos sen ulottuvuus on parillinen (n=2k) ja lisäksi kartastot toteuttavat


  • Kuvaukset tulkitaan kompleksiarvoisina f_i : U_i \to \C^k ja


  • koordinaattimuunnokset f_j \circ f_i^{-1}: f_i(U_j \cap U_i) \to \C^k ovat analyyttisiä. Analyyttisyys tässä tarkoittaa sileyttä ja sitä että f_j \circ f_i^{-1} on koordinaateittain analyyttinen klassisessa mielessä.


Kokonaislukua k=n/2 sanotaan moniston kompleksiseksi ulottuvuudeksi. Jos kompleksinen ulottuvuus on yksi, eli reaalinen ulottuvuus on kaksi, niin monistoa kutsutaan riemannin pinnaksi.

Affiini varisto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisessa geometriassa on samanlainen määritelmä kuin yllä, missä koordinaattimuunnokset ovat rationaalisia kuvauksia ja kordinaattijoukko \R^n korvataan jollakin varistolla V_k. Tällöin ei käytetä yllä esitetyn kaltaista topologiaa, vaan nk. Zariski topologiaa [9].

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Selvin esimerkki 1-monistosta on reaaliakseli. Tämän topologian (eli itseisarvometriikan määräämän metriikan antaman topologian) erän numeroituva kanta koostuu avoimista väleistä, joiden päätepisteet ovat rationaalilukuja. Reaaliakseli on myös separoituva, sillä itse rationaaliluvut muodostavat tiheän reaaliakselin osajoukon ja rationaaliluvut muodostavat numeroituvan joukon.[10] Lopuksi vielä avaruus on lokaalisti homeomorfinen itsensä kanssa, sillä se on homeomorfinen itsensä kanssa.
  • Yleisemmin avaruus \R^n on n-monisto.
  • Pallokuori \mathbb{S}^{n-1} on yksinkertainen esimerkki ei-triviaalista monistosta. Se on n-1-monisto jos topologia peritään avaruuden \R^n tavallisesta topologiasta.


Sileän moniston struktuureita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tässä osiossa tarkastelemme sileälle monistolle määriteltyjä struktuureita, joita tutkitaan syvällisemmin riemannin geometriassa. Oletamme tässä aina, että M on sileä monisto jollain sileällä kartastolla. Tarvitsemme ensin tangenttiavaruuden käsitteen.

Tangenttiavaruus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon p \in M mielivaltainen piste. On olemassa jokin kartta (U,f), jolle p \in U. Lokaalisti tälle pisteelle määrittelemme tangenttivektorit v_U(p) \in \R^n. Kun tarkastelemme koordinaatteja f, niin v_U(p) vastaa suuntavektoria v_U(p) jonka kanta on pisteessä f(p). Voimme myös ajatella sitä suoran f(p)+tv, missä v \in \R_+ , nopeusvektorina. Ongelma tosin on, että monistoilla kaiken pitäisi olla määritelty invariantisti. Mitä siis, jos ottaisimme toiset koordinaatit (V,g) samalle pisteelle. Tällöin sanomme, että vektorit v_V(p) ja v_U(p) ovat ekvivalentteja, jos

v_V(p) = D(g\circ f)v_U(p).

Tässä oikeanpuoleinen derivaatta on funktion g\circ f derivaatta lineaarisena kuvauksena. Näin kullekin moniston pisteelle on yksi ja vain yksi tangenttiavaruus, jota merkitään T_pM, joka on isomorfinen \R^n:n kanssa. Edellisestä määritelmästä on mahdollista määritellä sileä tangenttimonisto, joka sisältää kaikki tangenttiavaruudet T_pM yhteen, ja sitä merkitään TM [11]. Tangenttiavaruus on esimerkki vektorikimpusta. Moniston karttakuvaukset indusoivat karttakuvaukset seuraavasti. Olkoon (U_i,\phi_i) kartasto monistolla M. Sitten määrittele

V_i = U_i \times \R^n,

ja translaatiokuvaukset \phi_{ij}: U_i \cap U_j \times \R^n \to U_i \cap U_j \times \R^n on annettu koordinaateissa kaavalla

(m,v) \in U_i \cap U_j \times \R^n  \to (\phi^{-1}_i \circ \phi_{j}, D(\phi_i \circ \phi_{j}^{-1})v).

Nyt jos määrittelemme topologisen avaruuden E = \sqcup_\sim  U_i \times \R^n, missä samaistamme pisteet, jotka vastaavat toisiaan jollain translaatiokuvauksella. Tällöin inkluusiot U_i \times \R^n \to E ovat karttakuvauksia, ja lukija voi tarkistaa vektorikimpun aksioomat.

Riemannin Monisto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sileä monisto on riemannin monisto, jos voimme määritellä sileän bilineaarisen posiitivesti definiitin tensorikentän, eli jokaiselle pisteelle meillä on kuvaus

g:T_pM \times T_pM \to \R,

joka toteuttaa seuraavat ehdot.


  • Kuvaus g on sileä, kun sen ajattelee kuvauksena tangenttimonistolla TM, ks. [11].


  • Kuvaus on bilineaarinen: g(aX+bY,cZ+dW)=acg(X,Z)+bcg(Y,Z) + adg(X,W) + bdf(Y,W), \forall X,Y,Z,W \in T_p M.


  • Kuvaus on positiivisesti definiitti: g(X,X) \geq 0, \forall X \in T_p M ja  g(X,X)=0 \rightarrow X = 0 .


  • Kuvaus on symmetrinen: g(X,Y)=g(Y,X), \forall X,Y \in T_pM

Riemannin monistolle voidaan määritellä etäisyysfunktio, ja siten niistä tulee metrisiä avaruuksia. Jos pudotamme oletuksen, että metriikka g on positiivisesti definiitti saamme semi-definiitit riemannin monistot. Näistä tärkeimmät ovat Lorenzin monistoja, jotka mallintavat yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruutta, ja siten koko universumia. Tällöin metriikkaan liittyvä kaarevuus kuvaa painovoimaa Einsteinin yhtälöitten kautta.

Symplektinen Monisto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Symplektinen monisto on riemannin monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus

\omega:T_pM \times T_pM \to \R,

joka toteuttaa seuraavat ehdot.


  • Kuvaus \omega on sileä, kun sen ajattelee kuvauksena tangenttimonistolla TM, ks. [11].


  • Kuvaus on bilineaarinen: \omega(aX+bY,cZ+dW)=ac\omega(X,Z)+bc\omega(Y,Z) + ad\omega(X,W) + bd\omega(Y,W), \forall X,Y,Z,W \in T_p M.


  • Kuvaus on antilineaarinen: \omega(X,Y)=-\omega(Y,X), \forall X,Y \in T_pM


  • Tekninen oletus, että kuvaus on eidegeneroituva, eli ei ole olemassa tangenttivektoria X \in T_pM, jolle kaikille Y \in T_pM pätee \omega(X,Y)=0.

Tärkein esimerkki symplektisestä monistosta on mielivaltaisen sileän moniston tangenttiavaruus TM. Tämä on keskeisessä roolissa, kun ratkaistaan epälineaarisia ensimmäisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöitä nk. karakteristika-menetelmällä. Symplektiset monistot ovat keskeisessä asemassa Hamiltonisessa mekaniikassa.

Melkein kompleksinen monisto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Melkein kompleksinen monisto on sileä monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus

J:T_pM \to T_pM ,

joka toteuttaa seuraavat oletukset.

  • Kuvaus J: TM \to TM on sileä, ks. [11].
  • Kuvaus on lineaarinen: J(aX+bY) = aJ(X)+bJ(Y), \forall X,Y \in T_p M.
  • Kuvaus toteuttaa: J^2 = -I, missä I on identiteettikuvaus (kansan kielellä yksikkömatriisi).

Jokainen kompleksinen monisto on melkeinkompeksinen, mutta ei toisinpäin. Melkein kompleksit monistot ovat luonnollisia objekteja, jotka yleistävät kompleksista geometriaa. Lisäksi tensorin J avulla voidaan ilmaista analyyttiset ja anti-analyyttiset vektorikentät ja funktiot.


Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Tämän havainnollistamiseksi: muinoin uskottiin Maan olevan litteä, kun taas nykyään tiedämme sen olevan pallo. Tämä ristiriitaisuus tulee pääasiassa siitä, että paikallisesti nähtynä Maa tosiaan on "litteä". Yleisesti ottaen siis mikä tahansa objekti, joka on miltei litteä pienessä mittakaavassa, on monisto. Mathworld: Manifold
  2. L.P. Eisenhart: Riemannian Geometry. Princeton University Press, 1926. ISBN 978-0691023533.
  3. a b Oswald Veblen ja J.H.C. Whitehead: The Foundations of Differential Geometry. Cambridge University Press, 1936. ISBN 978-0521066747.
  4. Hassler Whitney: Differentiable Manifolds. Annals of Mathematics, 1936, nro 3.
  5. a b c Jussi Väisälä: Topologia II, s. 61-62. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  6. Kobayashi, Nomizu: Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Classics Library, 1996. 978-0471157335.
  7. John W. Milnor: On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Annals of Mathematics, 1956, nro 64.
  8. Donald Marshall: Määritä osoite!
  9. Andreas Gathmann: Algebraic Geometry
  10. Väisälä, s. 50
  11. a b c d Ilkka Holopainen: Johdatus Differentiaaligeometriaan

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

https://tuhat.halvi.helsinki.fi/portal/files/28298386/Teemu_Saksalan_gradu_20022013.pdf

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.