Täydellisyys

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Täydellisyys on matematiikassa topologian peruskäsite, joka tarkoittaa sitä että metrisen avaruuden jokainen Cauchyn jono suppenee.[1] Esimerkiksi avaruus \mathbb{R}^n on täydellinen, ja täydellisen avaruuden X osajoukko A on täydellinen, jos ja vain jos A on suljettu.[1]

Tärkeä tulos on myös Banachin kiintopistelause, jonka mukaan täydellisen avaruuden X kontraktiolla itselleen on täsmälleen yksi kiintopiste a. Jono f(x), f(f(x)), f(f(f(x))) ... suppenee kohti tätä pistettä kaikilla x \in X.

Täydellisyys ei ole topologinen ominaisuus, sillä on olemassa metrisiä avaruuksia, jotka ovat homeo­morfiset, mutta joista toinen on täydellinen, toinen ei. Esimerkiksi reaalilukujen joukko \mathbf{R} on täydellinen, mutta avoin väli ]0, 1[ ei, vaikka ne ovat homeo­morfiset.[1]

Bairen lauseen mukaan täydellisten metristen avaruuksien tiheiden avointen osajoukkojen leikkaus on tiheä.[1]

Topologiassa metrisen avaruuden (X,d) täydellistymällä tarkoitetaan paria (\varphi,(Y,e)), missä (Y,e) on täydellinen metrinen avaruus ja \varphi :X \to Y on isometria Y:n tiheälle osajoukolle. Jokaisella metrisellä avaruudella on täydellistymä.[2]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d Jussi Väisälä: Topologia II, s. 39-40. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  2. Väisälä, s. 83
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.