Kontraktio

Matematiikassa kontraktio on eräs funktiotyyppi. Kontraktioita kutsutaan myös nimellä kutistus.

Määritelmä

Funktio $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ on kontraktio, jos riippumatta luvuista $x,y\in \mathbb {R}$ on olemassa $0\leq q<1$ siten, että

$|f(x)-f(y)|\leq q|x-y|.$

Yleisemmällä tasolla kontraktio määritellään kahden metrisen avaruuden välisenä funktiona. Tällöin yo. määritelmässä korvataan vain erotusten itseisarvot metriikoilla: funktio $f:X\rightarrow Z$ on kontraktio, jos riippumatta pisteistä $x,y\in X$ on olemassa $0\leq q<1$ siten, että

$d_{Z}(f(x),f(y))\leq qd_{X}(x,y)$,

missä $d_{Z}$ ja $d_{X}$ ovat avaruuksien $Z$ ja $X$ metriikat, vastaavasti.

Esimerkkejä

Funktio $f(x)={\tfrac {x}{3}}$ on kontraktio. Nimittäin nyt

$|f(x)-f(y)|={\frac {|x-y|}{3}},$

eli $q={\tfrac {1}{3}}$.

Funktio $f(x)=x^{2}$ ei ole kontraktio, sillä esimerkiksi

$|f(0)-f(2)|=|0-4|=4>2=1\cdot |0-2|.$

Lause

Olkoon $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ derivoituva, missä $I\subset \mathbb {R}$ on väli. Tällöin $f$ on kontraktio jos ja vain jos $\sup _{x\in I}|f'(x)|<1$.

Todistus: Olkoon $r=\sup _{x\in I}|f'(x)|$. Jos $r<1$, niin differentiaalilaskennan väliarvolauseen perusteella

$|f(x)-f(y)|/|x-y|=|f'(c)|\leq r,$

kaikilla $x,y\in I$ joten tällöin $f$ on kontraktio. (Jos $I$ ei ole avoin, toispuoleiset derivaatat päätepisteissä riittävät.)

Jos $q<r$, niin on olemassa $x\in I$ siten, että $\delta =|f'(x)|-q>0$. Tällöin on olemassa $y\in I\setminus \{x\}$ siten, että

$\left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}-f'(x)\right|<\delta ,$

jolloin $\left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\right|>|f'(x)|-\delta >q$. Siis mikään $q<r$ ei kelpaa kontraktion määritelmässä. Jos siis $r\geq 1$, niin $f$ ei ole kontraktio, MOT.

Esimerkki

Funktio $f(x)={\frac {x^{2}}{1+|x|}}$ ei ole kontraktio funktiona $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mutta on kontraktio millä tahansa äärellisellä välillä: $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$. On näet

$0\leq f'(x)={\frac {(x+1)^{2}-1}{(x+1)^{2}}}<1$

kaikilla $x\geq 0$ ja $f'(-x)=-f'(x)$ eli $|f'(x)|<1$ kaikilla $x$ mutta silti

$\sup _{x\in \mathbb {R} }|f'(x)|=\lim _{x\rightarrow \infty }|f'(x)|=1,$

joten $\sup _{x\in I}|f'(x)|<1$ jos ja vain jos väli $I$ on äärellinen. Tässä on käytetty apuna sitä, että $f''(x)=2/(x+1)^{3}\geq 0$ kaikilla $x$.

Katso myös

• Banachin kiintopistelause