Kontraktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa kontraktio on eräs funktiotyyppi. Kontraktioita kutsutaan myös nimellä kutistus.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} on kontraktio, jos riippumatta luvuista x, y \in \mathbb{R} on olemassa 0 \leq q < 1 siten, että

|f(x) - f(y)| \leq q |x -y|.

Yleisemmällä tasolla kontraktio määritellään kahden metrisen avaruuden välisenä funktiona. Tällöin yo. määritelmässä korvataan vain erotusten itseisarvot metriikoilla:[1] funktio f : X \rightarrow Z on kontraktio, jos riippumatta pisteistä x, y \in X on olemassa 0 \leq q < 1 siten, että

d_Z(f(x),f(y)) \leq q d_X(x,y),

missä d_Z ja d_X ovat avaruuksien Z ja X metriikat, vastaavasti.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio f(x) = \tfrac{x}{3} on kontraktio. Nimittäin nyt

|f(x) - f(y)| = \frac{|x - y|}{3},

eli q = \tfrac{1}{3}.

Funktio f(x) = x^2 ei ole kontraktio, sillä esimerkiksi

|f(0) - f(2)| = |0 - 4| = 4 > 2 = 1 \cdot |0 - 2|.

Lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon f:I\rightarrow\mathbb{R} derivoituva, missä I\subset\mathbb{R} on väli. Tällöin f on kontraktio jos ja vain jos \sup_{x\in I}|f'(x)|<1.

Todistus: Olkoon r=\sup_{x\in I}|f'(x)|. Jos r<1, niin differentiaalilaskennan väliarvolauseen perusteella

|f(x) - f(y)|/|x - y|=|f'(c)|\le r,

kaikilla x,y\in I joten tällöin f on kontraktio. (Jos  I ei ole avoin, toispuoleiset derivaatat päätepisteissä riittävät.)

Jos q<r, niin on olemassa x\in I siten, että \delta=|f'(x)|-q>0. Tällöin on olemassa y\in I\setminus \{x\} siten, että

\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x} - f'(x)\right|<\delta,

jolloin \left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|>|f'(x)|-\delta>q. Siis mikään q<r ei kelpaa kontraktion määritelmässä. Jos siis r\ge1, niin f ei ole kontraktio, MOT.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio f(x) = \frac{x^2}{1+|x|} ei ole kontraktio funktiona f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} mutta on kontraktio millä tahansa äärellisellä välillä: f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}. On näet

0\le f'(x) = \frac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2} <1

kaikilla x\ge0 ja f'(-x)=-f'(x) eli |f'(x)|<1 kaikilla x mutta silti

\sup_{x\in\mathbb{R}}|f'(x)|=\lim_{x\rightarrow\infty}|f'(x)|=1,

joten \sup_{x\in I}|f'(x)|<1 jos ja vain jos väli I on äärellinen. Tässä on käytetty apuna sitä, että f''(x)=2/(x+1)^3\ge0 kaikilla x.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Jussi Väisälä: Topologia I. Limes ry, 1999. ISBN 951-745-184-9.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]