Kontraktio

Matematiikassa kontraktio on eräs funktiotyyppi. Kontraktioita kutsutaan myös nimellä kutistus.

Määritelmä

Funktio $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ on kontraktio, jos riippumatta luvuista $x, y \in \mathbb{R}$ on olemassa $0 \leq q < 1$ siten, että

$|f(x) - f(y)| \leq q |x -y|.$

Yleisemmällä tasolla kontraktio määritellään kahden metrisen avaruuden välisenä funktiona. Tällöin yo. määritelmässä korvataan vain erotusten itseisarvot metriikoilla: funktio $f : X \rightarrow Z$ on kontraktio, jos riippumatta pisteistä $x, y \in X$ on olemassa $0 \leq q < 1$ siten, että

$d_Z(f(x),f(y)) \leq q d_X(x,y)$,

missä $d_Z$ ja $d_X$ ovat avaruuksien $Z$ ja $X$ metriikat, vastaavasti.

Esimerkkejä

Funktio $f(x) = \tfrac{x}{3}$ on kontraktio. Nimittäin nyt

$|f(x) - f(y)| = \frac{|x - y|}{3},$

eli $q = \tfrac{1}{3}$.

Funktio $f(x) = x^2$ ei ole kontraktio, sillä esimerkiksi

$|f(0) - f(2)| = |0 - 4| = 4 > 2 = 1 \cdot |0 - 2|.$

Lause

Olkoon $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivoituva, missä $I\subset\mathbb{R}$ on väli. Tällöin $f$ on kontraktio jos ja vain jos $\sup_{x\in I}|f'(x)|<1$.

Todistus: Olkoon $r=\sup_{x\in I}|f'(x)|$. Jos $r<1$, niin differentiaalilaskennan väliarvolauseen perusteella

$|f(x) - f(y)|/|x - y|=|f'(c)|\le r,$

kaikilla $x,y\in I$ joten tällöin $f$ on kontraktio. (Jos $I$ ei ole avoin, toispuoleiset derivaatat päätepisteissä riittävät.)

Jos $q<r$, niin on olemassa $x\in I$ siten, että $\delta=|f'(x)|-q>0$. Tällöin on olemassa $y\in I\setminus \{x\}$ siten, että

$\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x} - f'(x)\right|<\delta,$

jolloin $\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|>|f'(x)|-\delta>q$. Siis mikään $q<r$ ei kelpaa kontraktion määritelmässä. Jos siis $r\ge1$, niin $f$ ei ole kontraktio, MOT.

Esimerkki

Funktio $f(x) = \frac{x^2}{1+|x|}$ ei ole kontraktio funktiona $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ mutta on kontraktio millä tahansa äärellisellä välillä: $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$. On näet

$0\le f'(x) = \frac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2} <1$

kaikilla $x\ge0$ ja $f'(-x)=-f'(x)$ eli $|f'(x)|<1$ kaikilla $x$ mutta silti

$\sup_{x\in\mathbb{R}}|f'(x)|=\lim_{x\rightarrow\infty}|f'(x)|=1,$

joten $\sup_{x\in I}|f'(x)|<1$ jos ja vain jos väli $I$ on äärellinen. Tässä on käytetty apuna sitä, että $f''(x)=2/(x+1)^3\ge0$ kaikilla $x$.

Katso myös

• Banachin kiintopistelause