Hila (matematiikka)

Hilan nimi tulee sitä havainnollistavasta Hasse-diagrammista. Kuvassa on hila neljäalkioisen joukon {1,2,3,4} osituksista, järjestettynä sisältymisrelaation mukaan.

Matematiikassa hila on osittain järjestetty joukko (kutsutaan myös posetiksi englanninkielisen termin "partially ordered set" mukaan), jossa jokaisella kahdella alkiolla on yksikäsitteiset supremum (alkioiden pienin yläraja); ja infimum (suurin alaraja). Hilat voidaan myös määritellä algebrallisina struktuureina, jotka toteuttavat tietyt aksiomaattiset ehdot. Koska nämä kaksi määritelmää ovat yhtäpitävät, niin hilateoriaa voidaan tutkia sekä järjestysteoreettiselta että algebralliselta kannalta.

Hilat osittain järjestettyinä joukkoina

Osittain järjestetty joukko (L, ≤) on hila, jos se toteuttaa kaksi seuraavaa aksioomaa.

Supremumin olemassaolo

$\forall a,b \in L$, on olemassa $\sup \{a,b\}$ (alkioiden a ja b supremum), voidaan merkitä myös: $a \lor b$ (kutsutaan myös pienimmäksi ylärajaksi).

Infimumin olemassaolo

$\forall a,b \in L$, on olemassa $\inf \{a,b\}$ (alkioiden a ja b supremum), voidaan merkitä myös: $a \land b$ (kutsutaan myös suurimmaksi alarajaksi).

Koska $\sup \{a,b\} = a \lor b$ ja $\inf \{a,b\} = a \land b$ ovat olemassa kaikille alkioille $a,b \in L$, niin tällöin $\lor$ and $\land$ ovat binäärisiä laskutoimituksia.

Hilat algebrallisina struktuureina

Algebrallinen struktuuri (L, $\lor, \land$), jossa L on joukko ja $\lor$, sekä $\land$ ovat laskutoimituksia joukossa L, on hila, jos se toteuttaa seuraavat ehdot kaikilla alkioilla $a,b,c \in L$.

Vaihdantalait $a \lor b = b \lor a$, $a \land b = b\land a$.

Liitäntälait $a \lor(b \lor c) = (a \lor b)\lor c$, $a \land(b \land c) = (a \land b)\land c$.

Absorptiolait $a \lor(a \land b) = a$, $a \land (a \lor b) = a$.

Seuraavaksi esitettävät idempotenttisuuslait usein lisätään edellä olleeseesen määritelmään, vaikka niiden tulokset seuraavat absorptiolaeista.

Idempotettisuuslait

$a \lor a = a$,

$a \land a = a$.

Hilojen algebrallista esitystapaa käytetään paljon universaalialgebrassa.

Kahden eri määritelmän yhtäpitävyys

Järjestysteoreettisesti määritelty hila määrittelee kaksi binääristä laskutoimitusta $\lor$ ja $\land$. Koska vaihdanta-, liitäntä- ja absorptiolait voidaan helposti todistaa näille laskutoimituksille, niin (L, $\lor$, $\land$) on hila algebralliselta näkökannalta. Järjestys voidaan palauttaa algebrallisesta struktuurista sillä a ≤ b jos ja vain jos a = a∧b.

Käänteinen on myös totta. Olkoon (L, $\lor$, $\land$) hila, ja määritellään relaatio ≤ joukossa L ehdosta

a ≤ b jos ja vain jos a = a$\land$b, tai

a ≤ b jos ja vain jos b = a$\lor$b,

kaikille $a,b \in L$. Absorptiolakien nojalla molemmat määritelmät ovat yhtäpitäviä. Nyt voidaan todistaa, että relaatio ≤ on osittainen järjestys ja että $\sup \{a,b\} = a \lor b$ ja $\inf \{a,b\} = a \land b$.

Koska eri määritelmät ovat yhtäpitäviä, voidaan puhua joko hilasta (L,≤) tai hilasta (L, $\lor$, $\land$) riippuen käyttötarkoituksesta.

Katso myös

• Ontologia (tietojenkäsittelytiede)

Lähteet

• Mika Eronen: Hilateoriaa. Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, moniste B50 1999.

Aiheesta muualla

• J.B. Nation, Notes on Lattice Theory, julkaisemattomat kurssimuistiinpanot hilateoriasta englanniksi