Binäärirelaatio

Binäärirelaatio eli binäärisuhde on kaksipaikkainen relaatio eli järjestettyjen parien joukko.

Yleistä

Binäärirelaatio on erilaisuussuhde kahden asian välillä. Yleensä sillä kuvataan kahden suureen riippuvuutta toisistaan. Binäärirelaatiota käytetään useilla matematiikan osa-alueilla, kun halutaan mallintaa käsitteitä ”olla suurempi kuin” tai ”olla yhtä suuri kuin”. Myös esimerkiksi graafiteoriassa binäärirelaatiolla kuvataan vierekkäisyyttä ja lineaarialgebrassa sillä havainnollistetaan ortogonaalisuutta. Alla on esimerkkejä siitä, millainen tämä suhde näiden kahden objektin välillä voisi olla.

Esimerkki 1

♦ Iisak on Jaakobin isä, jossa relaatio on ”x on y:n isä” ja x ja y ovat ihmisiä.

♦ Luku 5 on suurempi kuin luku -3, eli 5> -3, jossa relaatio on ”x on suurempi kuin y” ja x ja y ovat reaalilukuja, siis x, y ∈ R.

Esimerkki 2

♦ Relaatio "<" reaalilukujen joukossa R. Olkoon A = {1, 2, 3, 4} ja B = {1, 3, 4}, niin A × B = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 4) , ... , (4, 4)}. Tällöin relaatio "<" joukolta A joukolle B on joukon A × B osajoukko {(1, 3) , (1, 4) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 4)}.

♦ Relaatio "=" reaalilukujen joukossa R. Olkoon A = {1, 2, 3, 4} ja B = {1, 3, 4}, niin A × B = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 4) , ... , (4, 4)}. Tällöin relaatio "=" tarkoittaa joukkoa {(1, 1) , (3, 3) , (4, 4)}.

Määritelmä I

Matematiikassa binäärirelaatiolla (kaksipaikkaisella relaatiolla) joukossa A tarkoitetaan joukon A alkioiden osajoukkojen muodostamaa kokoelmaa. Toisin sanoen binäärirelaatio on karteesisen tulon A² = A × A osajoukko. Binäärirelaation alkiot ovat järjestettyjä pareja (x, y). Merkintä (x, y) ∈ R tarkoittaa samaa kuin xRy.

Määritelmä II

Olkoot X ja Y ei-tyhjiä joukkoja. Joukon X × Y= { (x, y) | x ∈ X ja y ∈ Y } osajoukkoa R kutsutaan binäärirelaatioksi joukoissa X ja Y. Jos pari (x, y) kuuluu joukkoon R, (x, y) ∈ R, niin merkitään xRy tai R(x, y) ja sanotaan, että x on relaatiossa y:n kanssa.

Sanotaan, että R on relaatio joukosta X joukkoon Y. Joukkoa X kutsutaan relaation R lähtöjoukoksi ja joukkoa Y tämän relaation maalijoukoksi. Kaksipaikkainen relaatio R on usein määritelty myös järjestetyn kolmikon (X, Y, G) kautta, jossa X ja Y ovat mielivaltaisia joukkoja ja G Karteesisen tulon osajoukko. Joukot X ja Y ovat lähtö- ja maalijoukot, kun taas G on kuvaaja.

Relaation ominaisuuksia

Relaatiot voidaan luokitella niiden ominaisuuksien mukaan.

Olkoon R joukossa X määritelty relaatio. R on

♦ refleksiivinen, jos xRx, kaikilla x ∈ X

♦ symmetrinen, jos xRy ja yRx, kaikilla x,y ∈ X

♦ antisymmetrinen, jos xRy ja yRx niin x = y, kaikilla x,y ∈ X

♦ transitiivinen, jos xRy ja yRz niin xRz, kaikilla x,y,z ∈ X

♦ vertailullinen, jos xRy tai yRx, kaikilla x,y ∈ X.

Lähteet

• Merikoski, J., Koivisto, P., Virtanen, A. 2001. Diskreetti matematiikka I. Opetusmoniste B 42.
• Fletcher, T. (toim.) 1965. Some lessons in mathematics. Cambridge University Press.
• Myberg, L. 1978. Algebra. Kirjayhtymä, Helsinki.