Valinta-aksiooma

Valinta-aksiooma (engl. axiom of choice, lyh. AC) on matemaattisen joukko-opin aksiooma, jonka mukaan jokaiseen ei-tyhjien joukkojen kokoelmaan $(S_i)_{i \in I}$ voidaan liittää uusi joukko $(x_i)_{i \in I}$ siten, että kukin sen alkioista $x_i$ kuuluu vastaavaan joukkoon $\in S_i$. Toisin sanoen voidaan muodostaa kuvaus, valintakuvaus, joka valitsee jokaisesta joukosta yhden alkion. Kaikissa tapauksissa, jos joukkoja $S_i$ on äärettämän monta, ei kuitenkaan voida muodostaa sääntöä, jonka mukaisesti alkiot kustakin joukosta valitaan, ja valinta-aksiooma osoittaakin ainoastaan, että tällainen valintakuvaus on olemassa, mutta sitä ei voida konstruoida.

Valinta-aksiooma käytti ensimmäisenä eksplisiittisesti Ernst Zermelo vuonna 1904. Hänen esittämässään muodossa aksiooma kuuluu näin:

»Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa x kohti on olemassa joukko y joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta x:n alkiosta»

Valinta-aksiooma voidaan ilmaista myös niin, että kun joukoista $S_i$ yksikään ei ole tyhjä, myöskään niiden karteesinen tulo ei ole tyhjä joukko.

Aksiomaattisessa joukko-opissa käytetään useimmiten aksioomina Zermelon-Fraenkelin aksioomia (ZF). Kun niihin lisätään valinta-aksiooma, saadusta aksioomakokoelmasta käytetään lyhennettä ZFC. Kurt Gödel todisti vuonna 1939, että valinta-aksiooma voidaankin ristiriidattomasti yhdistää Zermelon-Fraenkelin aksioomeihin. Vuonna 1963 Paul Cohen toisaalta todisti, että sitä ei voida todistaa ZF-aksioomien avulla eli se on niistä riippumaton.

Yhtäpitäviä tuloksia

Valinta-aksiooman avulla voidaan todistaa muun muassa seuraavat, sen kanssa yhtäpitävät tulokset, joita voidaan pitää myös valinta-aksiooman vaihtoehtoisina muotoiluina:

• Zornin lemma: Jos H on järjestetty joukko ja sen jokaisella ketjulla on H:ssa pienin yläraja, niin H:lla on maksimaalinen alkio.
• Hyvinjärjestyslause: jokainen joukko voidaan järjestää niin, että sen jokaisella osajoukolla on "pienin" tai ensimmäinen alkio.
• Trikotomia: joukkoja voidaan aina vertailla mahtavuusjärjestyksessä, eli mille tahansa joukoille A ja B on aina joko $\mbox{card}(A) < \mbox{card}(B)$, $\mbox{card}(A) = \mbox{card}(B)$ tai $\mbox{card}(A) > \mbox{card}(B)$
• Jokainen ääretön joukko A on yhtä mahtava karteesisen tulon A x A kanssa.

Käyttö

Matematiikan eri aloilla on runsaasti lauseita, jotka voidaan todistaa ainoastaan valinta-aksiooman avulla. Tällaisia ovat esimerkiksi seuraavat:

• Jokaisella vektoriavaruudella on kanta
• Jokaisella kunnalla on algebrallinen sulkeuma
• Reaalilukujen joukossa $\mathbb{R}$ sekä jokaisessa joukossa $\mathbb{R}^n$ on sellaisia osajoukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia
• Boolen algebrojen ultrafiltteriteoreema
• Stonesin esityslause Boolen algebroille
• Tihonovin lause topologiassa: Kompaktien avaruuksien karteesinen tulo on kompakti.
• Hahn-Banachin teoreema funktionaalianalyysissa

Lähteet

• Otavan suuri Ensyklopedia, 3. osa (Hasek-juuri), s. 2401, art. Joukko-oppi. Otava, 1978. ISBN 951-1-02232-6.
• Jussi Väisälä: Topologia II, s. 73-77. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.