Sigma-algebra

Sigma-algebra (myös σ-algebra) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.

Sigma-algebran määritelmä

Olkoon $\Omega$ mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra perusjoukolla $\Omega$ on sen osajoukkojen joukkoperhe$\mathcal{F}$, joka toteuttaa ehdot:

1. $\varnothing \in \mathcal{F}$
2. jos $A \in \mathcal{F}$, niin $A^c \in \mathcal{F}$
3. jos $A_k \in \mathcal{F}$ kaikilla $k \in K$, missä $K$ on numeroituva joukko, niin $\bigcup_{k \in K} A_k \in \mathcal{F}$.

Sigma-algebran ominaisuuksia

Sigma-algebran $\mathcal{F}$ ominaisuuksia:

• perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli $\Omega \in \mathcal{F}$
• Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos $A \in \mathcal{F}$ ja $B \in \mathcal{F}$, niin esimerkiksi $A \cup B \in \mathcal{F}$, $A \cap B \in \mathcal{F}$ ja $A \setminus B \in \mathcal{F}$
• jos $A_k \in \mathcal{F}$ kaikilla $k \in K$, missä $K$ on numeroituva, niin $\bigcap_{k \in K} A_k \in \mathcal{F}$
• sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra

Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä

Triviaali sigma-algebra on joukko $\{ \varnothing, \Omega \}$. Se on suppein sigma-algebra.

Sigma-algebran $\mathcal{F}$ ali-sigma-algebra on joukkoperhe $\mathcal{A} \subset \mathcal{F}$, joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.

Olkoon $\mathcal{B}$ mielivaltainen joukkoperhe joukon $\Omega$ osajoukkoja. Joukkoperheen $\mathcal{B}$ virittämä sigma-algebra, jota merkitään $\sigma(\mathcal{B})$, on suppein sigma-algebra, jolla $\mathcal{B} \subset \sigma(\mathcal{B})$.

Olkoon $f$ kuvaus $\Omega \rightarrow \mathbb{R}$. Kuvauksen $f$ virittämä sigma-algebra, jota merkitään $\sigma(f)$, on suppein sigma-algebra, jonka suhteen $f$ on mitallinen. $\sigma(f_1,f_2)$ on suppein sigma-algebra, jonka suhteen $f_1$ ja $f_2$ ovat mitallisia.

Olkoon $\mathcal{F}$ sigma-algebra ja $\mathcal{F}_n$ sen alisigma-algebra jokaisella $n \in \mathbb{N}$. Jos $\mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+1}$ jokaisella $n \in \mathbb{N}$, niin $(\mathcal{F}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ on historia tai informaatiovirta, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.

Tärkeimpiä sigma-algebroja

Erityisesti reaalilukujen Borel-joukot muodostavat mittateoriassa tärkeän sigma-algebran. Samoin Lebesgue-mitalliset joukot.

Aiheesta muualla

• MathWorld. Sigma-Algebra